1、文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 9 页）2020 年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小
2、题 5 分，满分 60 分。1B2B3C4D 5D6A7C8C9A 10B 11D12C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。13214 4151516三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17本小题主要考查递推数列、等差数列、数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解：（1）因为+12+1+12+12nnnnnnnnnbbaaaaaaa，2 分由题意知2+122nnnaaa，可得2+122nnna
3、aa，3 分即+12nnbb，所以 nb是等差数列 4 分又1214baa，5 分所以4+212+2nbnn，n N 6 分（2）由（1）知22nbn，当2n 时，121121nnnnnaaaaaaaa，8 分即1121nnaabbb，即24621nann n（）9 分又当1n 时，12a，满足（），所以+1nan n，n N 10 分所以1111=11nan nnn，11 分文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 9 页）所以12111nnSaaa111111223+1nn=1nn 12 分18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，三棱锥的体积及空间点面距离等基础知
4、识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解法一：（1）因为 ADBC，90D，3BC，1ADDC，依题意得，190ADCD，11D C ，1 分因为12 2D B，所以22211BCDCD B，故190BDC，即11CDBD，3 分又因为11CDAD，111ADBDD，所以1CD 平面1ABD 5 分又因为1CD 平面1ACD，所以平面1ACD 平面1ABD 6 分（2）因为 ADBC，90D，3BC，1ADDC，所以ABC的面积为 32，设1D 到面 ABC 的距离 h，则三棱锥1DA
5、BC的体积为11332DABCVh，故要使1DABCV取到最大值，需且仅需 h 取到最大值 7 分取 AC 的中点 M，连结1D M，依题意知111ADDC，190ADC，所以1D MAC，122D M，且1hD M因为平面1ACD平面 ABCAC，1D MAC，1D M 平面1ACD，所以当平面1ACD 平面 ABC 时，1D M 平面 ABC，1D Mh，故当且仅当平面1ACD 平面 ABC 时，1DABCV取得最大值 8 分此时113223224DABCV，9 分设 B 到平面1ACD 的距离为 d，可得1111=326DABCB ACDdVVd，11 分故264d，解得3 22d，故
6、B 到平面1ACD 的距离为 3 22 12 分文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 9 页）解法二：（1）同解法一.（2）因为 ADBC，90D，3BC，1ADDC，所以ABC的面积为 32，设1D 到面 ABC 的距离 h，则三棱锥1DABC的体积为11332DABCVh，故要使1DABCV取到最大值，须且仅需 h 取到最大值 7 分取 AC 的中点 M，连结1D M，依题意知111ADDC，190ADC，所以1D MAC，122D M，且1hD M因为平面1ACD平面 ABCAC，1D MAC，1D M 平面1ACD，所以当平面1ACD 平面 ABC 时，1D M 平面 ABC，1
7、D Mh，故当且仅当平面1ACD 平面 ABC 时，1DABCV取得最大值 8 分过点 B 作 BNAC，垂足为 N,因为平面1ACD 平面 ABC，平面1ACD平面 ABCAC，BN 平面 ABC，所以 BN 平面1ACD，所以 B 到平面1ACD 的距离为 BN 9 分在ACD中，90D，1ADDC，所以2AC，10 分在ABC中，12ABCSAC BN，所以 13222BN，所以3 22BN，即 B 到平面1ACD 的距离为 3 22 12 分19.本小题主要考查频率分布直方图、回归分析等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学
8、建模、数学运算、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性满分 12 分解：（1）由频率分布直方图可得 2018 年这 50 户家庭人均年纯收入的平均值为25000.0435000.1245000.3255000.2865000.1675000.08=5140（元）6 分（2）依题意，可得：1234563.56x，7 分故6718234266 3.5x yyx，8 分所以661166222211()()6760271824202414916253663.517.5()6iiiiiiiiiixxyyx yxybxxxx，9 分文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 9 页）34224 3.525
9、8aybx，所以 y 关于 x 的线性回归方程为 24258yx 10 分令13x，得 2020 年 1 月该家庭人均月纯收入为1324 13258570y（元），令24x，得 2020 年 12 月该家庭人均月纯收入为242424258834y（元），11 分由题意知，该家庭的人均月纯收入的估计值成等差数列，所以，2020 年该家庭人均年纯收入的估计值为(570834)12842480002S，综上，预测该家庭能在 2020 年实现小康生活.12 分20本小题主要考查抛物线的标准方程、圆的几何性质、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
10、结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，体现综合性、创新性满分 12 分解法一：（1）由题意得，,02pF 1 分依题意，当圆 M 过 F 时，因为QA 为直径，所以90QFA，即 FAx轴设11,A x y，所以12px，又2112ypx，解得1yp，故不妨设,2pAp，2 分因为14222QAFppSFQFA，又 06p，得224QAFpSp，3 分由题意得，21234pp，即28120pp，解得2p 或6p（舍去）.4 分故2:4C yx.5 分（2）设直线:l xa，l 被圆 M 所截得的弦长为t 因为4,0Q，所以点 M 到:l xa的距离为142
11、xda，6 分又圆 M 的半径2211422xyAQr，7 分根据垂径定理有2222trd，8 分得222211144242xyxta，文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 9 页）化简得，22211116444txya xa，9 分把2114yx代入上式得，22143164tx aaa，其中10 x，10 分故当且仅当3a 时，无论1x 取何值，恒有2 3t 11 分所以存在直线:3l x 被圆 M 所截得的弦长恒为 2 3 12 分解法二：（1）同解法一.（2）假设存在满足条件的直线:l xa，因为4,0Q，取 0,0A时，则圆 M 为2224xy，直线:l xa被圆 M 截得的弦长
12、为222 22a；取4,4A时，则圆 M 为 22424xy，直线:l xa被圆 M 截得的弦长为222 24a；则22222 22=2 24aa，解得3a，所以，如果满足条件的直线 l 存在，只能是:3l x，且被动圆 M 截得的弦长为 2 3 8 分下面证明直线:3l x 被动圆 M 截得的弦长恒为 2 3 因为点 M 到:3l x 的距离为1432xd 9 分122x，圆 M 的半径2211422xyAQr，10 分又因为2114yx，所以22111144416=22xxxxr，所以直线:3l x 被动圆 M 截得的弦长等于2222111416222=2 342xxxrd 综上，存在直线
13、:3l x 被圆 M 所截得的弦长恒为 2 3 12 分21本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 9 页）分 12 分解法一：（1）因为2a，ln2lnf xxaxx，当20ex时，ln20 x，3ln+2f xxx，3()1fxx ，1 分当0,3x时，0fx，f x 单调递减；当23,ex时，0fx，f x 单调递增；所以当=3x时，f x 取得最小值，所以 3=3
14、ln3+50f xf.2 分 当2xe 时，ln20 x ，ln2f xxx，1()10fxx ，f x 单调递增；所以 22e=4+e0f xf.4 分综上，0f x，因此，f x 没有零点，即 f x 的零点个数为 0 5 分（2）要证12,3,9x x，122ln3f xf x，只要证3,9x，maxmin2ln3f xf x即可 6 分因为当3,9x时，lnln3,ln9xaaa 当 2ln9a 时，3ln+,3,e,ln,e,9.aax xa xf xxxa x 7 分因为当3,eax ，=3ln+f xx xa，3=+1 0fxx，f x 单调递增，当e,9ax，=ln+f xx
15、xa，1=+10fxx，f x 单调递增，又 3lneelneeaaaaaa，所以 f x 在3,9 上单调递增，8 分所以 min33ln33f xfa ，max92ln39f xfa，所以 maxmin=ln3+622+ln3f xf xa 9 分当ln9a时，3lnf xxxa，3=+1 0fxx，f x 在3,9 上单调递增，所以 min33ln33f xfa ，max96ln39f xfa，所以 maxmin=63ln3f xf x又因为2+ln363ln34ln340，所以 maxmin=63ln32+ln3f xf x 11 分因此，12,3,9x x时，122+ln3f xf
16、x.12 分文科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 9 页）解法二：（1）设 2lng xxx，则 21gxx 1 分所以当0,2x时，0g x，g x 单调递减；当2+x，时，0g x，g x 单调递增所以当2x 时，g x 取得最小值，所以 2ln220g xg.3 分又 ln20 x ，所以 ln22ln0f xxxx，4 分因此，f x 没有零点，即 f x 的零点个数为 0 5 分（2）要证12,3,9x x，122ln3f xf x，只要证3,9x，maxmin2ln3f xf x即可 6 分因为 ln2lnf xxaxx，当 ln0 xa，即eax 时，lnf xxxa，1(
17、)10fxx ，所以 f x 在e,a上单调递增；当 ln0 xa，即 0eax时，3ln+f xxx a，3()1fxx ，当3eax，时，0fx，f x 在 3ea，上单调递增；又当eax 时，3lneelneeaaaaaa，所以 f x 在3 ，上单调递增因此 ln2lnf xxaxx在3,9 上单调递增，所以 min3ln32ln33f xfa，max9ln92ln99f xfa，maxmin=2ln3ln362ln3f xf xaa，8 分 当 2ln9a 时，maxmin=2ln3ln362ln3ln3+622+ln3f xf xaaa 9 分当ln9a时，maxmin=2ln3l
18、n362ln363ln3f xf xaa又因为2+ln363ln34ln340，所以 maxmin=63ln32+ln3f xf x 11 分因此，12,3,9x x时，122+ln3f xf x 12 分（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。文科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 9 页）22选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解：（1）因为1C 的参数
19、方程为cos,sinxy（为参数），所以221:1Cxy 2 分因为2C 的极坐标方程为2212=3+sin，由222xy，siny 得，222:143xyC 5 分（2）如图，设l 的倾斜角为 ，依题意0 2，则 P 在1C 中的参数角2，故 sin,cosP，所以可设l 的参数方程sincoscossinxtyt ，（t 为参数）6 分把 l 的参数方程代入22143xy，得222sin32 sincoscos90tt，所以21 22cos9=sin3t t 8 分则221 222cos99cos|sin3sin3PAPBt t，又7|=3PAPB，所以229cos7=sin33，所以3s
20、in2，故3，即直线l 的倾斜角为 3 10 分23选修：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解法一：（1）由题意得，12f xxx，当1x 时，原不等式可化为1+25xx ，即1x-，1 分故 11x 2 分当12x时，原不等式可化为1+25xx ，即 xR，45文科数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 9 页）故12x 3 分当2x 时，原不等式可化为1+25xx ，即 x4，故 24x 4 分综上不等式的解集为1,4
21、 5 分（2）因为 +2+22f xxaxbxaxbab，6 分当且仅当20 xaxb 时，取到最小值2ab，即22ab 7 分因为0ab，故22ab，2121abab，所以211211212222 abababab 8 分14424214422b aabaabb.9 分当且仅当 4baab，且22ab，即11,2ab或11,2ab 时，等号成立.所以 21ab的最小值为 4 10 分解法二：（1）由题意得，23112112232xxf xxxxxx，2 分如图，直线5y 与 yf x的图象交于,A B 两点，令 235x，解得1x ，令 235x，解得4x，4 分由图象知：当且仅当 14x 时，5f x 成立，综上不等式的解集为1,4 5 分（2）因为 +2+22f xxaxbxaxbab，6 分当且仅当20 xaxb 时，取得最小值2ab，即22ab 7 分因为0ab，故22ab，因为|2|2 2|abab，所以1|2ab，8 分所以 21224abababab，9 分当且仅当|2|ab，且22ab，即11,2ab或11,2ab 时，等号成立，所以 21ab的最小值为 4 10 分
