1、20222023学年度安徽省示范高中高一期末考试试卷 数 学一、单选题（40分）1下列函数中与是同一个函数的是（）ABCD2设集合，则（）ABCD3已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD4函数；的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A，B，C，D，5将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比如圆所示就是等宽曲线其宽就是圆的直径如图所示是分别以、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又
2、称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等A1个B2个C3个D4个6已知函数且，则“”是“在上单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（）AabcBbacCbcaDcab8设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）ABCD二、多选题（20分）9对于给定
3、实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（）ABCD10已知集合，则下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则或D若时，则或11已知函数，则下列说法正确的是（）A最小正周期是 B是偶函数C在上递增 D是图象的一条对称轴12已知，且，则下列结论正确的是（）A的最大值为B的最大值为C的最小值为D的最大值为第II卷（非选择题）三、填空题（20分）13若，则的最小值是_.14已知，则_15已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是_16若，则的最小值为_.四、解答题（70分）17函数是定义在R上的偶函数，当时，（1）求函数在的解析式；（2）当时，若，求实数m的值18已知函数的图象如图所示. (1)求
4、函数的解析式；(2)首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.19在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，
5、并指出此时x的取值范围；（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？20已知_，且函数.函数在定义域上为偶函数；函数在上的值域为.在，两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.21已知函数是偶函数.(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.22已知函数，.（1）判断函数的奇偶性；（2）若存在两不
6、相等的实数，使，且，求实数的取值范围.参考答案：1B【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；对于B，与是同一函数，故B正确；对于C，与的对应关系不同，故C不正确；对于D，与的定义域不同，故D不正确.故选：B2B【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.3C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.4C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象
7、的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C5B【分析】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，根据定义逐项判断即可得出结论.【详解】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，正三角形的面积，则一个弓形面积，则整个区域的面积为，而圆的面积为，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.【点睛】本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解
8、题的关键6A【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】若在R上单调递增，则，所以，由“”可推出“”，但由“”推不出 “”，所以“”是“在R上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7A【分析】由题意可得、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、的大小关系.【详解】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.8B【分析】，只需要研究的根
9、的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.【详解】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.故选：B【点睛】研究y=Asin(x+)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.9AB【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.【详解】由，分类讨论如下：当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.10ABC【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断【详解】，若，则，且
10、，故A正确.时，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，解得或，故C正确.故选：ABC11ABC【分析】首先利用三角函数的恒等变换得到，再根据余弦函数的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】.对选项A，故A正确.对选项B，所以是偶函数，故B正确.对选项C，由余弦函数的单调性可知C正确.对选项D，或，故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.12BC【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；【详解】，且，对于A，利用基
11、本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，故D错误；故选：BC13【分析】由，结合基本不等式即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，故答案为：14#【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得的值，而，最后利用齐次式化成关于的分式即可解.【详解】解：由，得，则.故答案为：.15【分析】问题转化为ax对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值
12、，即可求得实数a的取值范围【详解】解：函数的定义域是R，+ax0对于任意实数x恒成立，即ax对于任意实数x恒成立，当x0时，上式化为01，此式对任意实数a都成立；当x0时，则a，x0，则，则，可得a；当x0时，则a，x0，则1，则1，可得a1综上可得，实数a的取值范围是故答案为：16【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为:17（1）；（2）或.【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；（2），有，解方程即可得解.【详解】（1）令，则，由，此时；（2）由，所
13、以，解得或或（舍）.18(1)(2)【分析】（1）依题意可得，即可求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式；（2）首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由的取值范围求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：由图象得，所以，由，所以， (2)解：将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，得到，再将向右平移个单位得到，最后再向上平移个单位得到，即当时，所以，所以，19（1），（2），（3）天.【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；（3）由
14、解得：，减去即得答案.【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，可得：，则，由解得：，所以，所以段的函数表达式为，（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：，（3）由解得：，所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.20(1)选择条件见解析，a2，b0；为奇函数，证明见解析；(2).【分析】（1）若选择，利用偶函数的性质求出参数；若选择，利用单调性得到关于的方程，求解即可；将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.（1）选择.由在上是偶函数，得，且，所以a2，b0.所以.选择.当时，在上单调递增，则，解得，所以.为奇函数.证明如
15、下：的定义域为R.因为，所以为奇函数.（2）当时，因为，当且仅当，即x1时等号成立，所以；当时，因为为奇函数，所以；当x0时，所以的值域为.因为在上单调递减，所以函数的值域是.因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以,解得.所以实数c的取值范围是.21(1)(2)【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可（1）解：是偶函数，即对任意恒成立，即，因为当，函数有零点，即方程有实数根令，则函数与直线有交点，又，所以的取值范围是（2）解：因
16、为，又函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，所以，令，得，当，即时，此方程的解为，不满足题意，当，即时，此时，又，所以此方程有一正一负根，故满足题意，当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，综合得，实数的取值范围为：22（1）为奇函数；（2）【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；（2）易知是定义域内的减函数，由，可知且，进而可将原问题转化为不等式在有解，求取值范围，由，令，可得在上有解，进而分离参数得在有解，求出的取值范围，进而可得到的取值范围.【详解】（1），解得，的定义域为，其定义域关于原点对称，又，故为定义域内的奇函数.（2）函数都是上的减函数
17、，是定义域内的减函数，且为定义在的奇函数，且，原问题等价于不等式在有解，求取值范围.而，令，则，令，可知，则，构造函数，根据对数函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，由，可得，所以，所以在上有解，注意到当时，因此在有解.取，则，从而.因此在上有解.根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增，所以，所以，即.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
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