1、皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理科）考生注意：1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选考外）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2若复数z满足，则（ ）ABCD3的展开式中含项的系数是（ ）A40B-40C80D-804已知向量，若，则（ ）ABCD5某中学有高中生3600人，初中生2400人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从校学生中抽取一个容量为n的样
2、本已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数24，则（ ）A48B72C60D1206已知，则（ ）ABCD7已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则8在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若，则（ ）A-2B2CD9已知函数，是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）ABCD10已知抛物线的焦点为F，若斜率为一的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（ ）ABCD11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）ABCD12已知函数的图象与
3、直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则属于（ ）ABCD第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13函数的图象的对称中心是_14已知函数是偶函数且当时，则_15黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形中，根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形内的概率是_16已知双曲线的左、右焦点分别是，直线过点，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以为直径的腰上，则双曲线C的离心率为_三、解答题：共7
4、0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列的前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和18（12分）某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为，每件尺寸限制为，其中头等舱乘客免费行李额为，经济舱乘客免费行李额为某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：携带行李重量（kg）头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完成答题卡上的列联表，并判断是否在犯错概率不超过的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免
5、费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与数学期望参考公式：其中参考数据：19（12分）图1是由平行四边形ABCD和组成的一个平面图形其中，将沿AB折起到的位置，使得，如图2（1）证明：；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知函数处取得极值（1）求m的值；（2）若过可作曲线的三条切线，求t的取值范围21（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且到直线的距离为（1）求椭圆C标准的方程；（2）过的直线m交椭圆C于P，Q两点，Q为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存
6、在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由22（12分）已知函数有两个零点（1）求a的取值范围：（2）设，是的两个零点，证明：20192020第二学期高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题1B 由题意可得，则2A 因为，所以，则3C 展开式的通项为令，得，则，故的展开式中含项的系数是804B 由题意可得因为，所以，解得5D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为，则6D 因为，即，则7D 若，则或与相交，故D错误8C 因为，所以，则，故9C 由题意可得，解得10A 由题意可得，设，AB的中点，联立，整理得，则，解得因为点在直线l上，所以，则，则线段AB的
7、中点到准线的距离为11A 如图，设正方体的棱长为4，三视图对应的几何体为三棱锥，其中A为棱的中点由正方体的性质可知平面ABC，因为A为棱的中点，所以在中，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，则三棱锥的外接球半径，故三棱锥的外接球表面积为12B 函数的图象关于对称，直线过，作出函数的图象与直线恰有三个公共点的图象，由图象可知，且由于，所以，即，所以二、填空题13令，解得，则的图象的对称中心是145由题意可得15如图，过点B作，垂足为H设，由题意可得，则在中，则因为，所以，所以记正五边形ABCDE与的面积分别为和，因为正五边形ABCDE与相似，所以，故所求概率16如图，由题意可得，则因为直线l
8、的斜率是3，则，因为点P在以为直径的圆周上，所以，所以，则，故双曲线C的离心率为三、解答题17解：（1）当时，所以，整理得，则，故，当时，满足上式，故；（2）由（1）可知，则18解：（1）补全列联表如下：托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为，所以：在犯错概率不超过的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超过的旅客有7人，从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，34，所以补助券总金额X的所有取值可能为100元，200元，300元，400元，则X的分布列为X10020
9、0300400P故（元）19解：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以连接AC，在中，根据余弦定理得，因为，所以，所以，因为，且，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以；（2）因为，所以，所以由（1）可知平面ABCD，则以D为原点，以DB，DC的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点D作PA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面PAD的一个法向量为，则，令，可得设平面PBD的一个法向量是，则，令，可得故设二面角为，由图可知为锐角，则20解：（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以经验证符合题意；（2）设切点坐标为，由，得，所以方程为，将代入切线方程，得令，则，则
10、，解得当或时，所以在，上单调递增；当时，所以在上单调递减所以的极大值为，的极小值为因为有三条切线，所以方程有三个不同的解，与的图象有三个不同的交点，所以21解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，所以，所以直线l的方程为，即由题意可得，则，解得故椭圆C的标准方程为；（2）当直线PQ的斜率存在时，设直线m的方程为，联立，整理得，则，设，由四边形OPDQ为平行四边形，得，则，即，若点D落在椭圆C上，则，即，整理得，解得当直线PQ的斜率不存在时，直线m的方程为，此时存在点在椭圆C上综上，存在直线，使得点在椭圆C上22解：（1）由题意，可得，转化为函数与直线在上有两个不同的交点，故当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，所以又，故当时，；当时，可得；（2）证明：，由（1）知，是的两个根，故要证，只需证，即证，即证，即证，即证不妨设，故，令，则在上单调递增，则，故式成立，即原不等式得证
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