1、皖北名校20202021学年度高二上期末考试数学试卷（理科） 考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教版必修2，必修3，选修2-1第一章、第二章。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要求的。1.已知直线经过原点和两点，则直线的倾斜角是A. B. C. D.2.有下列事件：在标准大气压下，水加热到80时会沸腾；实数的绝对值不小于零；某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖；连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是A.B.C.D.3.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.将编号为001，002，003，500的500个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样的方法抽取样本.若第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，则样本中最大的编号应
3、该是A.475B.482C.487D.4925.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为A.B.C.D.6.设，若，则点的轨迹方程为A.B.C.D.7.在区间上任取一个整数，则满足的概率为A.B.C.D.8.如图，在矩形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的正弦值为A.B.C.D.9.定义表示不超过的最大整数，例如：，.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为A.B.C.D.10.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积是A.B.5C.D.11.已知点，是双
4、曲线的左、右顶点，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则A.2B. C. D.412.已知，点在抛物线上，则的最小值为A.6B. C.5D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若命题，则是_.14.已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为_，双曲线的渐近线方程为_.（本小题第一空3分，第二空2分）15.“关注夕阳、爱老敬老”某协会从2015年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年（2015年是第一年）与捐赠的现金（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程为，则预测2021年捐赠的现金大约是
5、_万元.16.若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为_.三、解答题；共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.18.（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为2，长半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，求以线段为直径的圆的标准方程.19.（本小题满分12分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生6
6、60人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.分组频数频率50.1070.14120.240.2080.16合计501（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数，的值：（3）已知日睡眠时间在区间内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.20.（本小题满分12分）已知：函数在上单调递增.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若，当为真命题且为假命题时，求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知圆与圆.（1）若圆与圆恰有3条公切线，求实数的值；（
7、2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为2，求实数的值.22.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，线段，的中点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.皖北名校20202021学年度高二上期末考试数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1.C 由和两点，代入斜率公式得，则直线的倾斜角是.故选C.2.A 因为在标准大气压下，水加热到100才会沸腾.所以不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以是必然事件；因为某彩票中奖
8、的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以是随机事件.故选A.3.A 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以或，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选A.4.B 根据系统抽样的特点，由第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，则样本间隔为，共抽取样本数为，则最大的编号为.故选B.5.C 由题中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面三角形的一直角边长为2，斜边长为，则另一直角边长为，所以棱柱的表面积.故选C.6.B 由题意可知，点到点的距离与到点的距离之和为定值8，并且
9、，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，因为，所以，所以点的轨迹方程为.故选B.7.A 由题意，在区间上任取一个整数，共有8种可能，而满足，即有3，4，5，6，7，8，共6种可能，所以所求概率是.故选A.8.D 如图，连接交于点，取的中点，连接，则且，所以（或其补角）为异面直线与所成的角.由在矩形中，则，所以.平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以.又，所以.在中，所以异面直线与所成角的正弦值为.故选D.9.D ，；，；，；输出.故选D.10.C 由球的体积，得.因为，易知三角形为等腰直角三角形，则三棱锥的高，所以体积.故选C.11.A 设，则，所以.又因为，所以，.又因
10、为，所以，所以.故选A.12.D 设，由题意可知，所以，设，因为.所以，当且仅当且，三点共线时等号成立.故选D.13.，14. 由题意可知，因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，即，所以，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为.15.5.25 由已知得，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2021年捐赠的现金大约是5.25万元.16. 的图象如图所示，直线过定点.当直线与圆的下半部分相切时，解得或（舍去）.当直线经过点时，.数形结合可得.17.证明：（1）在中，因为为的中点，为的中点，所以是中的中位线，所以.2分因为平面，平面，所以平面.5分（2）因为，为的中点，
11、所以.6分因为中，由（1）已证，所以.7分因为平面，所以平面.9分又因为平面，所以.10分18.解：（1）设椭圆的焦距为，则，所以，所以椭圆的方程为.4分（2）设点，联立消去，得.由韦达定理得，6分所以，线段的中点坐标为.所以，10分所以所求圆的标准方程为.12分19.解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为600人.3分（2）由题意，解得，4分，5分.6分（3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件，记5名高二学生中女生为，男生为，从中任选3人有以下情况：，；，；，；，；，；，；，；，；，；，基本事件共有10个，它们是等可能的，8分事件包含的基本事件有6个，故，所
12、以选中的3人恰好为两男一女的概率为.12分20.解：（1）由题意可知在上单调递减，则，即.2分且在上恒成立，所以，解得.4分所以.即的取值范围是.5分（2），则，6分因为，当且仅当时等号成立，7分所以.8分因为为真命题且为假命题，所以真假或假真，9分当假真时，有，即；10分当真假时，有，则，11分综上所述，的取值范围是.12分21.解：（1）圆，圆心，半径；圆，圆心，半径.2分因为圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切，所以，4分即，解得.6分（2）由（1）可知，圆，圆心，半径.因为直线与圆相交，弦长是2，所以圆心到直线的距离，10分即，解得或.12分22.解：（1）设圆心，由题意，得，即，所以曲线的方程为.4分（2）由题意可知，直线，的斜率均存在，设直线的方程为，联立方程组得，5分所以，.6分因为点是线段的中点，所以.7分同理，将换成，得，8分当，即时，.9分所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点.10分当时，直线的方程为，也过点.11分所以直线恒过定点.12分
