1、2022-2023学年下学期高一期中联考数学（A卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版必修第二册第六章第八章第4节.一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
2、.若复数满足是虚数单位，则（ ）A. B. C. D.2.等边的边长为1，则（ ）A. B. C. D.3.一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处.又测得灯塔在货轮的东北方向，则（ ）A.20 B.40 C. D.4.如图，在正六边形中，（ ）A.0 B. C. D.5.已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是.若的夹角是，且母线的长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ）A. B. C. D.6.已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D.7.如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速
3、度的大小为，水流的速度的大小为.设与所成的角为，若游船要从点航行到正北方向上位于北岸的码头点处，则（ ）A. B. C. D.8.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）A. B. C. D.二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（ ）A.直线共面 B.直线相交C. D.11.在中，角的对边分别是，
4、且，则的值可以是（ ）A. B. C. D.12.如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立.此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中正确的有（ ）A.若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B.若为内一点，且，则是的内心C.若为内一点，且，则D.若的垂心在内，是的三条高，则三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量.若，则实数的值是_.14.在中，则角的大小是_.15.设点是外接圆的圆心，则的值是_.16.依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是_.四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10
5、分）如图，在中，点是线段上一点.（1）若点是线段的中点，试用和表示向量；（2）若，求实数的值.18.（12分）已知复数，其中是虚数单位，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的取值范围.19.（12分）如图，在长方体中，截面.（1）确定点的位置；（2）若，求线段的长.20.（12分）在中，角的对边分别是，且向量和向量互相垂直.（1）求角的大小；（2）若的周长是，求外接圆的半径.21.（12分）三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.（1）设直三棱锥外接球的半径为，证明：；（2）若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.22.（12分）如图，某学校有一块平面四边形空地，
6、已知，且.（1）求两点间的距离；（2）设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.高一数学（A卷）参考答案题号123456789101112答案CBAABABDABDABDCDACD1.【解析】.故选C.2.【解析】.故选B.3.【解析】.在中，.故选A.4.【解析】.故选A.5.【解析】设圆锥的母线长是，则，高是，圆锥底面半径是.于是该圆锥的体积是.6.【解析】因为，所以，即.于是.故选A.7.【解析】如图，.因此.故选B.8.【解析】设.因为，所以.于是（是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.
7、因此.于是直三棱柱的表面积是.故选D.9.【解析】对A，.A正确.对B，A.B正确.对C，或不正确.对D，D正确.故选ABD.10.【解析】由于分别是的重心，所以分别延长交于中点.因此正确.因为，所以，因此.直线相交，B正确.因为是的重心，所以.因此不正确.因为，所以.因此.D正确.故选ABD.11.【解析】因为，所以.于是或，解得，或.因此，或.故选CD.12.【解析】对是等边三角形，设其高为，则，代入奔驰定理就得到，.A正确.对，由与得，是的重心.B不正确.对C，即.与奔驰定理比较就得到，.C正确.对D，是的垂心，则，因此.同理可得，.代入，得，.D正确.故选ACD.13.【答案】-2【解
8、析】因为，所以.14.答案】【解析】因为.所以.15.【答案】【解析】设点是边的中点，则即.因此.16.【答案】【解析】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，其体积是.17.【解析】（1）因为点是线段的中点，且，所以.（2）因为，且，所以.因此.18.【解析】（1）因为为纯虚数，所以，解得.（2）由，得.因此.因为，所以当时，；当时，.故的取值范围是.19.【解析】（1）平面，所以平面.又平面，平面平面，根据公理2，得，即三点共线，所以点为线段与的交点.（2）连接，再连接，交于点.由（1）知点为与交点.四边形为平行四边形.是中点.又是的中点，所以点是的重心，.又因为，所以.故.20.【解析】（1）因为互相垂直，所以，即.由余弦定理得，.因为，所以.（2）因为，所以.因此就是，即，解得.故外接圆的半径是1.21.【解析】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体知，.即.故.（2）由得，.因此.于是.当且仅当时取等号，故的最大值为32.22.【解析】（1）在中，因为，所以.于是.故两点间的距离是7.（2）由正弦定理得，即.由余弦定理得，.又，所以.设内切圆的半径是.由（1）可知，则，因此.在中，由正弦定理得，所以.于是.又，所以.当时，取得最大值14，从而内切圆的半径取得最大值.故最大圆形花圃的面积是.
