1、2023 年皖东名校联盟体高三 9 月第二次教学质量检测试卷满分：150 分考试用时：120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合1,2,4,5,6P，2,4,6M，则下列说法正确的是（）A.xP，xMB.xP，xMC.xM，xPD.xP，xM
2、【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可.【详解】A：显然1P，1M，所以本选项不正确；B：显然1P，1M，所以本选项正确；C：因为 MP，所以不存在 xM，xP，因此本选项不正确；D：因为2P，2M，所以本选项不正确，故选：B2.若2 iz ，则22zz（）A.5B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】计算出23 4iz ，进而计算出2i212zz，利用模长公式计算出答案.【详解】由题意可得2222443 4z ii ii，则22231i224iizz，故221 45zz故选：A3.已知向量2),(ax，其中0 x，(0,2)b，则2a ba的最大值
3、为（）A.2B.12C.22D.1【答案】B【解析】【分析】计算出224a baxx，利用基本不等式求出最值.【详解】2),(ax，(0,2)b，故22222()()22,24240a bxxxaxxx，因为0 x，所以4424xxxx，当且仅当4xx，即2x 时，等号成立，故22142a baxx.故选：B4.已知 A，B，C 为三个随机事件且 P A，P B，P C 0，则 A，B，C 相互独立是 A，B，C 两两独立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用相互独立事件的概念以及充分必要条件的概念即可.【详解】A，B，C
4、相互独立,则满足 P ABCP A P B P C，且 P ABP A P B，P BCP B P C，P ACP A P C；A，B，C 两两独立则满足 P ABP A P B，P BCP B P C，P ACP A P C；故而 A，B，C 相互独立则有 A，B，C 两两独立，但是 A，B，C 两两独立不能得出 A，B，C 相互独立，故A 正确故选：A5.若0.2ea，b=1.2，c=ln3.2，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.cbaC.acbD.bac【答案】A【解析】【分析】先比较a 与b 的大小，构造函数 e10 xf xxx，利用导数证明得到0 x 时，e1xx，从而
5、得到0.2e0.2 1 1.2ab，通过561.26ee2.7387.4，53.2335.5，结合lnyx的单调性即可得到bc，从而得出判断.【详解】令 e10 xf xxx，则 e10 xfx，f x 在0,上单调递增，0f xf，即e1xx，0.2e0.2 1 1.2ab，又1.21.2lneb，ln3.2c，561.26ee2.7387.4，53.2335.5，1.2e3.2，故bc，abc 故选：A6.如图，正方形 EFGH 的中心与正方形 ABCD 的中心重合，正方形 ABCD 的面积为 2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥 MEFGH(A，B，C，D 四点重合
6、于点 M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（）A.25B.45C.43D.23【答案】A【解析】【分析】设2EFx，表达出棱锥侧面的高，进而表达出棱锥的高，表示出棱锥体积，利用导函数求出棱锥体积的最大值，求出阴影部分面积.【详解】取正方形中心为O，连接 BD交 EF 于点T，正方形 ABCD 的面积为 2，故正方形 ABCD 的边长为 2，1OBOD，设2EFx，则OTx，所得的棱锥侧面的高1TBOBOTx，故棱锥的高为22(1)1 2hxxx，四棱锥体积为224144(2)1 21 21 2333Vxxxxxx，令 411 202f xxxx，则3()2(25)fxxx，当20
7、5x时，()0fx，当 2152x时，()0fx，()f x 在20,5上单调递增，在 2 1,5 2上单调递减，当25x 时，体积最大，此时25FT，315TBx，由勾股定理可得222313555BF，点 F 到边长 BC 的距离210d，121221010BCFS，阴影部分面积245BCFSS.故选：A7.直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有 10 个直径为 4 的小球，全部放进棱长为 a 的正四面体盒子中，则 a 的最小值为（）A.64 6B.84 6C.44 6D.54 6【答案】B【解析】【分析】分析 10 个小球在正四
8、面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等式即可求解.【详解】我们先来证明如下引理：如下图所示：设正四面体棱长为 a，AF 面 BCD，BECD，所以122aCECD，2222322aaBEBCCEa，显然 F 为面 BCD的重心，所以2333aBFBE，由勾股定理可得面22223633aaAFABBFa,所以正四面体的高等于其棱长的面63倍.接下来我们来解决此题：如下图所示：10 个直径为 4 的小球放进棱长为 a 的正四面体 ABCD 中，成三棱锥形状，有 3 层，则从上到下每层的小球个数依次为：1，(1 2)，(1 2 3)个，当 a 取最小值时，从上到下每层放
9、在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体EFGH，则该正四面体 EFGH 的棱长为2428，可求得其高为68 6833EP ，所以正四面体 ABCD 的高为8 68 62 32833AQAEEPPQ ，进而可求得其棱长 a 的最小值为8 63884 636 故选：B.8.设1()cosf xx，将()f x 的图像向右平移 3 个单位，得到()g x 的图像，设()()()h xf xg x，,12 4x，则()h x 的最大值为（）A.62B.6C.2 6D.3 6【答案】B【
10、解析】【分析】根据平移得到()g x 的解析式，根据()()()h xf xg x得到()h x 的解析式，根据三角变换公式以及()h x 的增减性最后得到()h x 的最大值.【详解】将()f x 的图像向右平移 3 个单位，得到()g x 的图像，1()cos3g xx，1111coscoscoscos36666h xf xg xxxxx，113131cos()sin()cos()sin()26262626h xxxxx，223cos()6()3 cos)1()sin(6446xxxh x，221()1 cos()6463cos()6(3 cos4xxh xx，23cos36()11cos
11、464cos6cos6xh xxxx，,12 4x，,612 12x ，62cos,164x，令cos()6tx，62,14t,114cos64cos6xttx，易知14ytt 在62,14t单调递增，即14cos6cos6xx,12 4单调递增，h x,12 4单调递减，当62cos64x时，h x 最大值为 6，故答案为：B.【点睛】关键点点睛：关键在于利用通分以及22sincos1xx 对()h x 化简，以及观察()h x 的单调性.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
12、的得 0 分9.已知三次函数 320,R()f xaxbxc ab c，下列结论正确的是（）A.当2ab时，()f x 单调递减区间为2,03B.当2ab时，()f x 单调递增区间为2,03C.当4ca 时，若函数()f x 恰有两个不同的零点，则3ba D.当0bc时，()lnf xx恒成立，则 a 的取值范围为1,3e【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究()f x 区间单调性判断 A、B，由函数()f x 恰有两个不同的零点，则有一个极值为 0，易得203bfa或 00f判断 C；将不等式恒成立化为3ln xax恒成立，对右侧构造函数，应用导数求其最大值即可判断 D.【详解】320
13、,R()f xaxbxc ab c，则 32fxxaxb，当2ab时 232fxxx，在区间2,03上 0fx，所以()f x 在2,03上单调递减区间，A 正确，B 错误；要使函数()f x 恰有两个不同的零点，则()f x 有一个极值为 0，由上分析知：203bfa或 00f，而 00f时0a，不满足题意；所以4ca，有23bfa33228440279bbaaa，化简可得3ba，C 正确；当0bc时()lnf xx恒成立，即3ln xax恒成立，令3ln()xh xx，则41 3ln()xh xx，故30()eh，在30,e 上()0h x，()h x 单调递增，在3 e,上()0h x，
14、()h x 单调递减，3max1()e3eh xh，故13ea，D 正确故选：ACD10.在四面体 ABCD 中，1ABCD，2ACADBCBD，E，F，G 分别是棱 BC，AC，AD 上的动点，且满足 AB，CD 均与面 EFG 平行，则（）A.直线 AB 与平面 ACD 所成的角的余弦值为 1515B.四面体 ABCD 被平面 EFG 所截得的截面周长为定值 1C.EFG 的面积的最大值为 18D.四面体 ABCD 的内切球的表面积为 730【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直性质找出直线 AB 与平面 ACD 所成的角，即可求得其余弦值，判断 A；明确截面四边形的形状即可求得其周长
15、，判断 B；根据截面四边形形状结合基本不等式可判断 C；利用割补法结合等体积法即可判断 D.【详解】对于 A，取 AB 的中点 Q，CD 的中点 M，连接,AM BM QM，由于2ACADBCBD，故,CDAM CDBM，而,AMBMM AM BM平面 ABM，故CD 平面 ABM，又CD 平面 ACD，故平面 ACD 平面 ABM，则BAM即为直线 AB 与平面 ACD 所成的角，又22112,1152()222AQABAM，而221152()22BM,故 AMBM，则 MQAB，故15cos15AQBAMAM，A 正确；对于 B，设平面 EFG 与棱 BD 的交点为 P，因为 AB平面 E
16、FG，且 AB 平面 ABC，平面 ABC 平面 EFGEF，故 ABEF，且由题意知 ABEF，否则,AB EF 重合，不合题意，故四边形 ABEF 为梯形，同理四边形 FCDG 为梯形，所以,EFCF FGAFABAC CDAC，由于1ABCD，故1,1CFAFEFFGEFFGACACABCD，又因为 ABEF，同理可证 ABGP，则/EFGP；同理证明 FGEP，则四边形 EFGP 为平行四边形，故四边形 EFGP 的周长为 2，即四面体 ABCD 被平面 EFG 所截得的截面周长为定值 2，B 错误；对于 C，因为CD 平面 ABM，AB 平面 ABM，故CDAB；而 ABEF，同理可
17、证 FGCD，故 EFFG，结合1EFFG，故21112228EFGEFFGSEF FG，当且仅当12EFFG时等号成立，即 EFG 的面积的最大值为 18，C 正确；对于 D，由以上分析知15,12AMBMAB，故2241511141()()222ABMS，而CD 平面 ABM，1CD ，故114312A BCDABMVSCD，而22111512()224ABCABDADCBCDSSSS，设四面体 ABCD 的内切球的半径为 r，则1()3A BCDABCABDADCBCDVSSSSr，即 14121015,12360rr ，故四面体 ABCD 的内切球的表面积为221074()6030，D
18、 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要充分发挥空间想象，明确空间图形结构特征，难点在于 C、D 选项的判断，解答时要推出截面的形状，明确其中的数量关系，结合基本不等式判断 C；利用割补法可求得四面体内切球的半径.11.已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，直线 l：=1x，M 为l 上一动点，则下列结论正确的是（）A.4 AFBF的最小值为 10B.若1AAl，1A 为垂足，且 MA为1A AB的平分线，则 MF ABC.对任意点 M，均有0MA MBD.当 ABM 为等边三角形时，ABM 的面积为36 3【答案】BCD【解析】【分析
19、】A 选项，设 AB：1xty，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合焦半径公式得到111AFBF，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；B 选项，证明三角形全等，得到结论；C 选项，设1,Mm，表达出 212121120MA MBxxymymmt；D 选项，设 AB 中点为 G，表达出221,2Gtt，分当0t和0t 时，先求出1ABkt，进而表达出22(22)1MGtt，222AGt，利用两者数量关系得到方程，求出22t，得到等边三角形的边长和高，求出面积.【详解】设 AB：1xty，1122,A x yB x y，联立214xtyyx，得2440yty，则124yyt，124y y
20、，21212242xxt yyt，对于 A，221212116y yx x ，则12121212211111111xxAFBFxxx xxx，411454AFBFAFBFBFAFAFBFAFBF4529AFBFBFAF，当且仅当4 AFBFBFAF，即2BFAF时，等号成立，A 错误；对于 B，1AAAF，MA 为1A AB的平分线，则1A AM FAM，190AFMAA M ，B 正确；对于 C，设1,Mm，则 121211MA MBxxymym21 21212121x xxxy ym yym 2242 1 441ttmm 2244tmmt220mt，C 正确；对于 D，设 AB 中点为 G
21、，由于212212xxt，1222yyt，则221,2Gtt，当0t时，显然 AMB 为直角三角形，不合题意，当0t 时，12121212111AByyyykxxtytyt，MGkt ，2221(22)1GMMGtxxtt，2121122222AGABxxt，又3MGAG，解得22t，6 3MG，6AG，136 32ABMSABMG，D 正确故选：BCD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围12.记有限数
22、集为 M，1M，定义在 M 上的函数记为()f x，()f x 的图象经过旋转变换之后会得到 g(x)的图象()g x 的图象有可能不是函数图象)，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转 3后得到的()g x 图象与原函数()f x的图象重合，则在下列选项中 f(1)的取值不可能是（）A.0B.3C.33D.32【答案】ABC【解析】【分析】根据题意给的定义和函数的应用即可求解.【详解】设点1(1,(1)Af，若 f x 逆时针旋转 3后与原图重合，则旋转后1A 的对应点2A 也在 f x 的图象上，同理有2A 的对应点3A 也在其图象上，以此类推，于是 f x 对应的图象可以为一个圆周上的 6
23、 等分的 6 个点.当(1)0f时，即1(1,0)A，则213,22A，易验证513,22A，显然不符合函数的定义，故 A 项不可能；当 13f时，即1(1,3)A，同理，5 1,3A，不符合函数的定义，故 B 项不可能；当 313f时，即13(1,)3A，同理，63(1,)3A不符合函数的定义，故 C 项不可能；当 312f时，即13(1,)2A，满足题意，故 D 项可能.故选：ABC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼
24、原理由等式 2111nnnxxx利用算两次原理可得011220C CC CC CC C=nnnnnnnnnnnn_(用组合数表示即可)【答案】2Cnn【解析】【分析】利用二项式定理，结合已知条件，即可推出结果.【详解】依题意 0122012211CCCCCCCCnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxx，故011220C CC CC CC Cnnnnnnnnnnnn是展开式中nx 的系数，而21nx展开式中nx 的系数为2Cnn，所以0112202C CC CC CC CCnnnnnnnnnnnnnn故答案为：2Cnn.14.已知(2,2),(1,1)AB，又 P 点为圆 O：22xym上任
25、意一点且满足(1)PAk kPB，则 k _【答案】2【解析】【分析】设00(,)P xy，然后根据题意可得22002200(2)(2)(1)(1)(1)PAxyk kPBxy化简后可求出k 的值.【详解】设00(,)P xy，则0022ymx，且 P 点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值(1)k k，所以22002200(2)(2)(1)(1)(1)PAxyk kPBxy，所以200008 44(222)mxykmxy ，所以22242428(2)kkmkm ，解得22,4km，因为1k，所以2k 故答案为：2 15.已知正实数a，b 满足2245aba b，则当 21ab取最小值
26、时，ab _【答案】52【解析】【分析】变形换元后得到332212451kakbk，令 32(2)045kf kkkk，求导得到函数单调性和最值，从而求出52akb.【详解】3332223322322211224545415a babaaaababbaaabbbbb，令0akb，则332212451kakbk，令 32(2)045kf kkkk，则 2222222(2)1215(85)(2)2(2)(25)(1)4545kkkkkkkkfkkkkk，当50,2k时，0fk，f k 在50,2上单调递减，当5,2k时，0fk，f k 在 5,2上单调递增，故 f k 在52k 处取得极小值，也是
27、最小值，min52ffk，即52akb 故答案：5216.如图，椭圆：22221xyab(0ab)的右焦点为 F，离心率为 e，点 P 是椭圆上第一象限内任意一点且 tan1POF，FQOP，0OQOPuuuruuur若e，则离心率 e 的最小值是_【答案】63【解析】【分析】设直线 OP 的方程为(01)ykxx，代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，可将 用 a、b、c 表示出来，再依据e，对任意01k恒成立，可得所求离心率的范围【详解】点 P 是 上第一象限内任意一点且 tan1POF，0,4POF，设直线 OP 的斜率
28、为k，则01k 由2222,1,0,0.ykxxxyaxxy 可得222222abxba kkabyba k ，故222222,abkabPbakbak，222222,abk abQba kba k，0FQ OPuuur uuur，故1QFkk，2222221k abba kabkcba k，解得2222(1)cba kab k，e 对任意的01k 恒成立，故2222(1)cba keab k，整理得到22222abb k对任意的01k 恒成立，故只需2222abb，即2223ac，即613e，故离心率 e 最小值为63故答案为：63四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明
29、、证明过程或演算步骤17.数列 na各项均为正数，na的前 n 项和记作nS，已知11S，2120,(2)nnnaaSn（1）求 na的通项公式；（2）设1tantannnnbaa，求数列 nb的前 2023 项和【答案】（1）*Nnan n（2）tan 20242024tan1【解析】【分析】（1）当2n 时，有2112122nnnnnnaaSaaS相减得22112nnnnnaaaaa,结合 na各项均为正数，并因式分解即可求解.（2）由（1）得1tan()tan()tantan(1)nnnbaann，结合tan(1)tantan1tan(1)1 tan(1)tannnnnnn 可知tan(
30、1)tantan(1)tan1tan1nnnbnn+-=+=-，由裂项相消法即可求解.【小问 1 详解】当2n 时，有2112122nnnnnnaaSaaS相减得22112nnnnnaaaaa，即1110nnnnaaaa，na各项均为正数，所以112nnaan，又当2n 时，2222122220aaSaa-，解得22a 或21a (舍)，所以对任意正整数 n，均有11nnaa ，故 na是以首项为 1，公差以 1 的等差数列，所以*Nnan n【小问 2 详解】由于tan(1)tantan1tan(1)1 tan(1)tannnnnnn，故tan(1)tantan(1)tan1tan1nnnn
31、+-+=-，由（1）得1tan()tan()tantan(1)nnnbaann，记 nb前 n 项和为nT，则231.nnTbbbb1tan(1)tantantan(1).tan 2tan1tan1nnnnn1tan(1)tan1tan1nntan(1)1tan1nn，所以2023tan 20242024tan1T.18.在 ABC 中，3B，D 在边 AC 上，A，BC 对应的边为 a，b，c（1）当 BD 为B的角平分线且3BD 时，求 11ac的值；（2）当 D 为 AC 的中点且2 3BD 时，求2ca的取值范围【答案】（1）1（2）4 3,8 3【解析】【分析】（1）利用ABCABD
32、BCDSSS可得出结论；（2）由正弦定理分别表示出 a，c，得出216sin8sin 3ca，再根据 的范围及正弦函数的性质求解答案即可.【小问 1 详解】由题意知，BD 为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得111sinsinsin232626acBD cBD a ，整理可得3322acac，所以 111caacac.【小问 2 详解】以 a，c 为边做平行四边形，另一个端点设为 M，连接 BM，易知 BM 交 AC 于点 D.设DBC=，则由正弦定理知：4 32sinsinsin33ca化简可得8sinc，8sin 3a，则 216sin8sin 3ca，合并化简可28 3sin6ca，
33、易知0,3，则,66 2，28 3sin4 3,8 36ca 2ca的取值范围为4 3,8 3.19.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 4，M，N，P，Q 分别为棱1111,BB BC A D DD 的中点，平面1DAMN 与平面1CB PQ 将该正方体截成三个多面体（1）求平面 AMN 与平面1A MN 所成夹角的余弦值的大小；（2）求多面体11MNDAPQCB的体积【答案】（1）79（2）803【解析】【分析】（1）以向量法为工具结合平面夹角公式，即可解决;（2）将所求多面体体积通过大正方体的体积减去部分几何体的体积进行转化，即可解决.【小问 1 详解】以 A 为原点，分
34、别以1,AB AD AA 为,x y z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则(4,0,2),M(4,2,0),N1(0,0,4)A，(4,0,2)AM，(0,2,2)MN，1(4,0,2)MA 设,mx y z为平面 AMN 的一个法向量，则420220m AMxzm MNyz取1x，解得2yz ，故1,2,2m 设=,na b c 为平面1A MN 的一个法向量，则1420220n MAacn MNbc 取1a，解得2bc，故=1,2,2n则7cos,9m nm nm n，平面 AMN 与平面1A MN 所成夹角的余弦值为 79.【小问 2 详解】由正方体特性可知：111 1MBN A ADP
35、D Q B C CVV多面体多面体，所求多面体11111 1MNDAPQCBMBN A ADPD Q B C CVVVV多面体正方体多面体多面体，12MBN A ADVV正方体多面体;而几何体1MBNA AD可以看成两三棱锥相减，将 AB 延长至 O 点，使 BOAD，得到几何体1MBNA AD的体积为三棱锥1OA DA的体积减去三棱锥OBMN的体积，11111111564 4 82 2 43332323A DABMNMBNA ADVSOASOB 几何体11356804233MNDAPQCBV 多面体20.2022 年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有 8 个外形完全相同的金蛋，8 个金蛋中有
36、1 个一等奖，1 个二等奖，3 个三等奖，3 个参与奖，现甲乙两人进行砸金蛋比赛，砸中 1 个一等奖记 4 分，砸中 1 个二等奖记 3 分，砸中 1 个三等奖记 2 分，砸中 1 个参与奖记 1 分，规定砸蛋人得分不低于 8 分为获胜，否则为负，并制定规则如下：一个人砸蛋，另一人不砸蛋；砸蛋的人先砸 1 个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸 2 个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸 3 个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和（1）若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率；（2）若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分 的分布列和数学期望()E 【答案】（1）37（2）分
37、布列见解析；期望为 607【解析】【分析】（1）分两种情况，结合古典概型及组合即可求解；（2）写出随机变量 的所有取值，分别求出概率，即可得出分布列，再根据数学期望公式即可求出期望.【小问 1 详解】记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件 A，则 11216327C CC93C217P A，【小问 2 详解】如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸 3 个金蛋，则得分情况有 6，7，8，9，10，11，3337C16C35P ，213337C C9C573P，123337C C9C583P，21331337C CC49C35P，11131337C C C109C35P ，213137C C3311C
38、5P ，所以 的分布列为：P67891011135935935435935335所以 的数学期望：19949360()678910113535353535357E 21.已知双曲线22221xyab(0ab)左、右焦点为12,F F，其中焦距为2 7，双曲线经过点4,3D（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点2F 作直线交双曲线于 M，N 两点(M，N 均在双曲线的右支上)，过原点 O 作射线OP，其中OPMN，垂足为,E P 为射线OP 与双曲线右支的交点，求24 MNOP的最大值【答案】（1）22143xy（2）12【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,a b，从而求得双曲线的方程.（2）
39、根据直线 MN 的斜率是否存在进行分类讨论，先求得24 MNOP的表达式，然后利用基本不等式求得最大值.【小问 1 详解】由题意得221691ab，7c，227ab，解得2a，3b，双曲线的方程为：22143xy.【小问 2 详解】当直线 MN 斜率不存在时，3MN，2OP，则248MNOP，当直线 MN 斜率存在时，假设直线方程为7yk x，联立双曲线方程得22223 48 728120kxk xk，则21228 734kxxk，2122281234kx xk，0，直线与双曲线交于右支，234k，则2222121212212(1)11443kMNkxxkxxx xk，设射线 OP 方程为：1
40、 yxk，联立与双曲线的方程，2221234kxk，234k，22212(1)34kOPk，211112MNOP，22222441241112 54OPMNMNMNOPOPMNOPMNOP2212 524124OPMNMNOP，当且仅当2346OPMN时等号成立，最大值为12综上，24 MNOP的最大值为12.【点睛】求得双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得,a b，,a b 是两个未知数，所以求解需要两个条件.求解圆锥曲线中的最值问题，可先求得需要求最值的式子的表达式，然后根据表达式的结构选取合适的方法来求最值.22.已知函数 ln 1f xxax，21e14xg xxx，曲线 yf x
41、与 yg x在原点处的切线相同（1）求 f x 的单调区间；（2）若0 x 时，0g xkf x，求 k 的最小值【答案】（1）()f x 在1,0递减，在0,递增；（2）12【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件可计算得1a，再利用导数研究函数单调区间即可；（2）多次求导结合端点效应分类讨论计算即可.小问 1 详解】由题意可得：111afxxx ，1e12xgxx，所以 00fg 得11 0 11aa ，故 1xfxx，令 00fxx，令 001fxx ，所以()f x 在1,0递减，在0,递增；【小问 2 详解】记 0h xg xkf xx，则 1e121xkxh xxx，设 u
42、 xh x，则 21e21xkuxx，设 m xu x，则 32e1xkm xx，当0k 时，0221ee1e0211xxkku xxx，即 u x 在0,上单调递增，所以 000u xuh()h x 在0,递增，故 00h xh，即0k 满足题设；当102k-?时，0m x，故 u x在0,递增，当0 x 时，1002u xuk，则 u xh x在0,上单调递增，此时 00h xh，故()h x 在0,递增，故 00h xh，即102k-?满足题设；当12k 时，同知 0m x，故 u x在0,递增，此时 1002uk，取21mk，则0m，且 21ee102(1)mmku mm，故 u x在0,m 上存在唯一零点0 x，在00,x上 0u x，此时 u x 递减，00 xx，则 000u xuh，即 h x 在00,x单调递减，当00 xx时，00h xh与 0h x 矛盾，故12k 应舍去；综上知，当12k 时满足题设，因此 k 的最小值为12.
