1、2021届高三第一学期1月质量检测试卷文科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知全集为R，集合A=xR|x2-2x0)，角合B=x|lnx-10，则(RA)B=( )A. 0,2B. (0,2C. 0,eD. (0,e2. 已知命题p:x0,，sinx-3cosxa，若pq为真命题，则a的取值范围是( )A. -233,1B. -233,2C. 2,52D. 2,1033. 已知函数f(x)=-2x+sinx，若a=f(33)，b=-f(-2)，c=f(log27)，则a,b,c的大小关系为（ ）A. abcB. bcaC. cabD. acb0)的左、右焦点，P为直线x=a2
2、c上一点，若F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )A. 12B. 22C. 34D. 4510. 设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，若，则ABF2的周长为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面a/平面AMN，则平面a截该正方体所得截面的面积为（ ）A. 2B. 98C. 3D. 6212. 已知mR，过定点A的动直线mx+y=0和过定点B的动直线x-my-m+3=0交于点P，则PA+3PB的
3、取值范围是( )A. 10,210B. 10,30C. 10,30D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知f(x+1)是定义域为R的偶函数，对于任意x1，x2(-,1且x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，且f(3)=0，则f(x)x0的解集为_14. 已知F为抛物线C：y2=x的焦点，点A，B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若BFO的面积是12(O为坐标原点)，且OAOB=12，则直线AB的斜率是_15. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是_16. 已知F为双曲线x2a2-y2
4、b2=1a0,b0的左焦点，过点F作直线l与圆x2+y2=a2相切于点A，且与双曲线右支相交于点B，若FA=13FB，则双曲线的离心率为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （12分）已知数列an的前n项和Sn=12n(na1+1)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an2n-1的前n项和Tn18. （12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知asinA+C2=bsinA(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围19. （12分）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为8，一条准线方程为x=1677，与椭圆C1共焦点的
5、双曲线C2，其离心率是椭圆C1的离心率的2倍(1)分别求椭圆C1和双曲线C2的标准方程；(2)过点M(4,1)的直线l与双曲线C2，交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程20. （12分）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，O为AC的中点，A1O平面ABC，AB=BC=AA1=2，M为A1B1的中点(1)求证：A1O/平面MBC；(2)求三棱锥M-BB1C的体积21. （12分）已知函数fx=x-12+alnx-x+1a0(1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的不等式xfxx-1xlnx在1,+上恒成立，求实数a的取值范围22. （10分）水葫芦原产于巴西，1901年
6、作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18m2，经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位m2)与经过时间x(xN)个月的关系有两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(参考数据：21.414,31.732,lg20.3010,lg30.4771)()试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；()求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.答案1.C 2.D 3.D 4
7、.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 12.D13.(-,-1)(0,3) 14.-13 15.63 16.132 17.解：(1)Sn=12n(na1+1)，n=1时，a1=S1=12(1+a1)，即a1=1，则Sn=12n(n+1)，n2时，an=Sn-Sn-1=12n(n+1)-12(n-1)n=n，上式对n=1也成立，则an=n，nN*；(2)an2n-1=n2n-1，则前n项和Tn=11+22+322+n2n-1，2Tn=12+222+323+n2n，两式相减可得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n，化简可得Tn=(n-1)2n+
8、118.解：(1)asinA+C2=bsinA，即为asin-B2=acosB2=bsinA，可得sinAcosB2=sinBsinA=2sinB2cosB2sinA，sinA0，cosB2=2sinB2cosB2，cosB20，sinB2=12，可得B=3；(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b=a2+1-2a1cos3=a2-a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+11且1+a2-a+1a2，解得12ab0)长轴长2a=8，则a=4，一条准线方程为x=1677，则a2c=1677，则c=7，所以b=a2-c2=16-7=3所以椭圆C1的方程为x216+y29
9、=1，离心率e1=ca=74设双曲线的方程为x2a12-y2b12=1(a10,b10)则c2=7=a12+b12，又离心率为72，则72=7a1，解得a1=2所以b1=c2-a12=7-4=3所以双曲线C2的方程为x24-y23=1(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，x124-y123=1x224-y223=1两式作差可得14(x1+x2)(x1-x2)-13(y1+y2)(y1-y2)=0148(x1-x2)-132(y1-y2)=0即y1-y2x1-x2=3，所以直线l的斜率为3所以直线l的方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=020.(1)证明：取BC的中点D，连结MD
10、，OD，O为AC的中点，在ABC中，OD/12AB，又M为A1B1的中点，则A1M/12AB，所以OD/A1M，所以四边形A1ODM为平行四边形，故A1O/MD，A1O平面MBC，MD平面MBC，故A1O/平面MBC(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1/平面ABC，又A1O平面ABC，故A1O平面A1B1C1，又A1B1平面A1B1C1，故A1OA1B1，又A1O/MD，故A1B1MD，又AB/A1B1，ABBC，故A1B1BC，又BC、MD平面BMC，MDBC=D，故B1M平面BMC，MB1=12A1B1=1，又A1OAC，A1O=A1A2-AO2=2，故MD=2，所以SB
11、MC=12BCMD=1222=2，故VM-BB1C=VB1-MBC=13B1MSBCM=1312=2321.解：(1)函数的定义域为(0,+)，由f(x)=(x-1)2+a(lnx-x+1)，得f(x)=2(x-1)+a(1x-1)=2(x-1)+a(1-xx)=2(x-1)-a(x-1)x=(2x-a)(x-1)x，令f(x)=0，得x=a2或x=1当0a0，得0x1，由f(x)0，得a2x2时，由f(x)0，得0xa2，由f(x)0，得1xa2，函数f(x)在区间(0,1)，(a2,+)上单调递增，在区间(1,a2)上单调递减综上所述，当0a2时，函数f(x)在区间(0,1)，(a2,+)
12、上单调递增，在区间(1,a2)上单调递减(2)关于x的不等式xf(x)x-1xlnx在(1,+)上恒成立，可化为a2x-lnxx在(1,+)上恒成立设h(x)=2x-lnxx，x(1,+)，则h(x)=2-1-lnxx2=2x2-1+lnxx2，令g(x)=2x2-1+lnx，则g(x)=4x+1x0，g(x)在(1,+)上单调递增，则g(x)g(l)=10，h(x)0，则函数h(x)在(1,+)上单调递增，又h(1)=2，00,a1)的增长速度越来越快，y=px12+q(p0)的增长速度越来越慢，所以依题意应选函数模型y=kax(k0,a1)，则有ka2=18ka3=27，解得a=32k=8，所以y=8(32)x(xN)(2)由(1)，知y=8(32)x(xN)，当x=0时，y=8，即原先投放的水葫芦的面积为8m2设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍，有8(32)x=81000，所以x=log321000=lg1000lg32=3lg3-lg217.04，所以约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍
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