1、育才学校2021-2022学年高三年级上学期第一次月考试卷理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1集合，则=（ ）ABCD2下列判断正确的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B函数的最小值为2C当时，命题“若，则”为真命题D命题“，”的否定是“，”3已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数（ ）AB2CD4函数的部分图象大致形状是（ ）ABCD5设是定义在R上的偶函数，且时，当时，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（ ）ABCD6已知，设，则的大小关系是（ ）ABCD7已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）ABCD8如图所示，在平面直角坐标系中，
2、角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，若，则的值是（ ）ABCD9若（是虚数单位），则（ ）AB2CD310在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小是（）A或BCD11我们把称作狄里克莱函数，它是高等数学中一个很有名的函数.已知命题：的值域是；命题：存在无数个非零常数，使得对任意恒成立.则下列命题中的真命题是（）ABCD12.已知定义在上的函数，满足；其中是的导函数，e是自然对数的底数，则的范围为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若，其中，是虚数单位，则_14已知平面向量，若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为_1
3、5已知向量与的夹角为，且，则实数_.16已知函数为奇函数，且与图象的交点为，则_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）设 ，或，；函数在上为增函数，若”为假，且“”为真，求实数的取值范围18（12分）已知在中，角，的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.19（12分）已知向量与的夹角为，.（I）若，求实数k的值； （II）是否存在实数k，使得？说明理由.20（12分）函数是定义在上的奇函数，且（1）确定的解析式；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t的不等式21（12分）图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中
4、前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH = （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ 22（12分）已知函数在处的切线与直线平行(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，且，求证：参考答案1B解析：由及，则，故选
5、项为B.2C解析：逐一考查所给命题的真假：对于选项A：由可得，即，故“”是“”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；对于选项B：令，由对勾函数的性质可知函数单调递增，其最小值为，则题中的命题为假命题；对于选项C：考查其逆否命题：“若，则”，很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；对于选项D：命题“，”的否定是“，”，则题中的命题为假命题；故选C.3A解析：因为向量满足，所以，若向量的夹角为，则，所以，即，解得.故选：A4C解析：定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，故排除选项A，故选：C.5D解析：是偶函
6、数，又，对于任意的，都有，所以，所以函数是一个周期函数，且，又因为当时，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和的图象，如图所示，需，又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是. 故选：D.6A解析：根据题意，则，则函数为减函数，又由，则有，则，故选：7B解析：函数的定义域为R，因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于x的方程有两个不同的解，令，则，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+)上单调递减，又当时，；当时，且，故，即.故选：B.8C解析：由题知，则，故选：C
7、【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式9C解析：,化简,得到,因此,故选C.10A解析：，cosA，由0A，可得A，sinBsinC=，即解得tan2C=，又2C=或，即C=或故选A11C解析：的值域是，p是假命题，是真命题；当T为非零有理数时对任意恒成立，q是真命题，故选C.12.【答案】B【解析】解：根据题意，设， 对于，其导数，则有在区间上单调递增；所以，即，变形可得；对于，其导数，则在区间上单调递减；则有，即，变形可得，综合可得：，即的范围为；故选：B13.解析：由题意可得：，则：，即，.14解析：由题意可得，令，即当时，函数的一
8、个增区间为又函数在上是单调递增函数，故答案为152解析：，则，故.故答案为：.1618解析：函数为奇函数，函数关于点对称，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，,两两关于点对称， .故答案为1817【解析】当命题为真时，即，则由下列两种情况：，即，即时满足，即或满足，即或，综合得：实数的取值范围为：或，当命题为真时，即函数在上为增函数，则，又“”为假，且“”为真，则命题一真一假，即，即故答案为：18（1）（2）解析：（1）因为，所以由正弦定理得，整理得，所以.因为，所以.（2）因为，所以由余弦定理，得，解得或（舍）.所以.19（1） ;（2）解析：试题解
9、析：（）向量与的夹角为， 又且 ， （）若，则，使 又向量与不共线 解得： 存在实数时，有 20（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.解析：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解可得；又由（1），则有（1），解可得；则；（2）由（1）的结论，在区间上为增函数；证明：设，则，又由，则，则，则函数在上为增函数；（3）根据题意，解可得：，即不等式的解集为21（1）；（2）当为时该别墅总造价最低解析：（1）由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM 平面ABCD，得FHHM 在RtFHM中，HM = 5，所以 因此FBC的面积为从而屋顶面积 所以S关于的函数关系式为()（2）在RtFHM中，所以主体高度为 所以别墅总造价为 记，所以，令，得，又，所以列表：-0+所以当时，有最小值答：当为时该别墅总造价最低22解析：（1）函数的定义域：，解得，令，解得，故在上是单调递减；令，解得，故在上是单调递增. （2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得 即， 因此， 令，由，得.则， 构造函数， 则所以函数在上单调递增，故，即，可知.故命题得证.
