1、育才学校2021届高三下学期最后一次模拟检测理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合A=x|y=15x2，B=x|x25x140，则A(RB)=()A. 2,7B. 5,2)C. 2,5)D. 2. 已知向量a，b的夹角为4，|b|=2，a(a+b)=2，则|a|=()A. 12B. 1C. 2D. 23. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2019年全年总收入与2018年全年总收相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化而发生了相应变化.如表给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是() 年份比例项目设备工资研发原材料其他
2、20180.40.20.10.150.1520190.20.20.250.30.05A. 该企业2019年设备支出金额是2018年设备支出金额的一半B. 该企业2019年用于研发的费用是2018年用于研发的费用的五倍C. 该企业2019年支付工资金额与2018年支付工资金额相当D. 该企业2019年原材料的费用是2018年原材料的费用的两倍4. 马林梅森(MarinMersenne,15881648)是17世纪法国著名的数学家和修道士.他在欧几里得、费马等人研究的基础上，对2p1做了大量的计算，验证工作.人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，把形如2p1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数.若
3、执行如图所示的程序框图，则输出的所有梅森素数的和为()A. 676B. 165C. 158D. 22125. 已知函数f(x)=x23x+2,x1lnx,x1，g(x)=f(x)ax+a，若g(x)恰有1个零点，则a的取值范围是()A. 1,01,+)B. (,10,1C. 1,1D. (,11,+)6. 已知P为圆(x+1)2+y2=1上任一点，A，B为直线3x+4y7=0上的两个动点，且|AB|=3，则PAB面积的最大值为()A. 9B. 92C. 3D. 327. “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“一”、“一一”两种“爻”的符号代表阴阳，“”称
4、为阳爻“一一”称为阴爻.阴阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦.两个八卦叠加而成64卦，比如图中损卦，即为阳爻占据1，5，6三个位置，阴爻占2，4，5位.从64卦中任取1卦，阳爻个数恰为2且互不相邻的概率()A. 12B. 38C. 516D. 5328. 正项等比数列an中，已知a1011=3，那么log3a1+log3a2+log3a2021=()A. 4042B. 2021C. 4036D. 20189. 已知函数f(x)=exex2，若a=23f(23)，b=32f(32)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系是()A. abcB. acbC. cbaD. bca10. 已知F1，F2
5、分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若MF1=3NF2，则椭圆E的离心率为()A. 13B. 12C. 22D. 6311. 函数f(x)=x3ex+1的图象大致是()A. B. C. D. 12. 在西游记中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到H，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，PO=2，底面圆O的面积为16
6、，HH为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A. 855B. 455C. 85D. 45二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 在(x2+2x+3)(x+1)6的展开式中，含x4项的系数为_ 14. 若x，y满足约束条件y+x12yx2y1，则z=xy的最大值_ 15. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+csinA=0，则tanA+tanB的取值范围为_ 16. 若函数f(x)=ax22x+1在x0,1上存在唯一零点，则实数a的取值范围是_ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
7、。)17. （12分）已知等腰ABC中，AB=AC，D是AC的中点，且BD=6(1)若AD=3，求ABC的面积；(2)若BC=4，求sinC18. （12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图：(1)求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n12
8、34567锻炼时长m(单位：分钟)10151220302535()根据数据求m关于n的线性回归方程；()若mx4(x是(1)中的平均值)，则当天被称为“有效运动日”.估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2，a=ybx19. （12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别为AC和B1C1的中点(1)证明：DE/平面ABB1A1；(2)若ABBC，AB=BC=AA1=2，求二面角BAED的余弦值20. （12分）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(1,32)，离心率e=12
9、，直线l的方程为x=4(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由21. （12分）已知函数f(x)=x+alnx(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，若f(x)1ax2+e，求实数a的取值范围22. 选修4 - 4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcosy=1+tsin(t为参数，00,b0)(1)当a=2，b=3时，求不等式f(x)7的解集；(2)若f(x)
10、的最小值为4，求证：1a+2+1b+212答案解析1.C【解析】5x20，5x5，A=x|5x0，x7或x2，RB=x|2x7，A(RB)=2,5)，故选：C2.B【解析】向量a，b的夹角为4，|b|=2，a(a+b)=2，可得a2+ab=2，所以|a|2+|a|b|cos4=2，|a|2+|a|=2，解得|a|=1(负值舍去)故选：B3.B【解析】由折线图可知：不妨设2018年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于选项A，该企业2019年设备支出金额为0.22t=0.4t，2018年设备支出金额为0.4t=0.4t，故A错误；对于选项B，该企业2019年用于研发的费用时0.252
11、t=0.5t，2018年用于研发的费用时0.1t=0.1t，故B正确；对于选项C，该企业2019年支付工资金额为0.22t=0.4t，2018年支付工资金额为0.2t=0.2t，故C错误；对于D选项，该企业2019年原材料费用为0.32t=0.6t，2018年原材料费用为0.15t=0.15t，故D错误故选：B4.D【解析】由题意，模拟程序的运行，可得p=3，S=231=7，输出7，满足p9，p=3+2=5，S=251=31，输出31，满足满足p9，p=5+2=7，S=271=127，输出127，满足满足p9，p=7+2=9，9不是素数，p=9+2=11，11是素数，S=2n1=2047，输出
12、2047，11不满足p9，结束，所以输出梅森素数和=7+31+127+2047=2212故选：D5.A【解析】解：由g(x)=f(x)ax+a=0得f(x)=a(x1)，f(1)=13+2=0，g(1)=f(1)a+a=0，即x=1是g(x)的一个零点，若g(x)恰有1个零点，则当x1时，函数f(x)=a(x1)，没有其他根，即a=f(x)x1，没有根，当x1时，设(x)=f(x)x1=x23x+2x1=(x1)(x2)x1=x2，此时函数(x)为增函数，则(1)1，即此时(x)1时，(x)=f(x)x1=lnxx1，(x)=1x(x1)lnx(x1)20，且(1)1，即0(x)0，故f(x)
13、在R上单调递增；令g(x)=xf(x)，则g(x)=f(x)+xf(x)，当x0时，由f(x)0，f(x)0，得g(x)0，所以g(x)在(0,+)上单调递增，又g(x)为R上的偶函数，故a=g(23)=g(23),b=g(32),c=g(1),32123，所以bca，故选：D10.C【解析】不妨设点M为椭圆短轴的上端点(0,b)，且F1(c,0)，F2(c,0)，设点N的坐标为(m,n)，则MF1=(c,b),NF2=(cm,n)，由MF1=3NF2可得：cm=13cn=13b，即m=43c,n=13b，所以点N的坐标为(43c,13b)，代入椭圆方程可得：16c29a2+b29b2=1，解
14、得c2a2=12，所以椭圆的离心率为e=ca=22，故选：C11.D【解析】由f(x)=x3ex+1，可知当x时，f(x)，排除A，C；当x+时，由指数爆炸可知exx3，则f(x)=x3ex+10，排除B故选D12.A【解析】解：如图，建立以OM为x轴，过M作MN平行HH以MN为y轴的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py，底面圆O的面积为16，所以OB=4，OP=2，在POB中，PB=OB2+OP2=25，又因M为PB中点，故OM=5，H(4,5)，16=2p5，p=855，故选：A13.100【解析】解：(1+x)6展开式中通项为：Tr+1=C6rx6，在(x2+2x+3)(x+1)6的展
15、开式中，含x4项的系数为：1C62+2C63+3C64=15+220+315=100故答案为：10014.3【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立y=1x+y=1，A(2,1)，由z=xy，得y=xz，由图可知，当直线y=xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2(1)=3故答案为：315.222,1)【解析】解：因为acosC+csinA=0，由正弦定理可得sinAcosC+sinCsinA=0，又sinA0，可得cosC+sinC=0，可得tanC=1，因为C(0,)，可得C=34，可得tanC=tan(A+B)=tanA+tanB1tanAtanB=1，可得tanA+tanB
16、=1tanAtanB=1tanAtan(4A)=1tanA1tanA1+tanA=1+tan2A1+tanA=112sin2A+12cos2A+12=122sin(2A+4)+12，因为A(0,4)，可得2A+4(4,34)，可得sin(2A+4)(22,1，可得tanA+tanB=122sin(2A+4)+12222,1)故答案为：222,1)16.(,1【解析】解：当a=0时，函数的零点为12，满足题意；当a0时，x=0时，f(0)=10，函数的对称轴不在区间内，函数f(x)=ax22x+1在x0,1上存在唯一零点，f(1)=a10，可得a1，且a0，函数f(x)=ax22x+1它的对称轴
17、为x=1a，函数的对称轴在区间0,1内，可得：01a1f(1a)=0即：a11a2a+1=0，解得a=1函数f(x)=ax22x+1在x0,1上存在唯一零点，则实数a的取值范围是：(,1故答案为：(,117.解：(1)因为AB=AC，D是AC的中点，且BD=6，AD=3，所以在ABD中，由余弦定理可得cosA=AB2+AD2BD22ABAD=62+3262263=14，可得sinA=1cos2A=154，所以SABC=12ABACsinA=1266154=9152(2)设CD=x，由题意可得AB=AC=2x，在ABC中，由余弦定理可得：cosC=CB2+CA2AB22CBCA=16+4x24x
18、2242x=1x，在BCD中，由余弦定理可得：cosC=CD2+BC2BD22BCCD=16+x23624x=x2208x，所以1x=x2208x，解得x=27，所以cosC=714，可得sinC=1cos2C=3211418.解：(1)(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)10=1，a=0.03x=50.00510+150.01210+250.0310+350.03510+450.01510+550.00310=30.2(2)()n=1+2+3+4+5+6+77=4，m=10+15+12+20+30+25+357=21，i=17(nin)(mim)=(14)(10
19、21)+(24)(1521)+(34)(1221)+(44)(2021)+(54)(3021)+(64)(2521)+(74)(3521)=113，i=17=142+242+342+442+542+642+742=28，b=11328，a=21113284=347，m关于n的线性回归方程为m=11328n+347()当n=8时，m=113288+347=2607.260730.24，估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”19.(1)证明：取BC中点M，连接MD、ME，又因为点D为AC中点，所以MD/AB，因为AB平面ABB1A1，所以MD/平面ABB1A1，因为ABCA1B1C1为直三棱柱，所
20、以四边形BB1C1C为矩形，又因为E为B1C1中点，所以ME/BB1，因为BB1平面ABB1A1，所以ME/平面ABB1A1，因为MEMD=D，所以平面MDE/平面ABB1A1，又因为DE平面MDE，所以DE/平面ABB1A1(2)解：因为ABBC，BB1AB，BB1AC，所以BA、BB1、BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=BC=AA1=2，所以AE=(1,2,2)，AB=(0,2,0)，AD=(1,1,0)，设平面ABE和平面ADE的法向量分别为m=(x,y，z)，n=(u,v，w)，AEm=x2y+2z=0ABm=2y=0，令z=1，m=(2,0，1)，AEn=u2v+
21、2w=0ADn=uv=0，令，w=1，n=(2,2，1)，因为二面角BAED为锐角，所以二面角BAED的余弦值为|mn|m|n|=359=5520.解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(1,32)，可得1a2+94b2=1(ab0) ，由离心率e=12得ca=12，即a=2c，又a2=b2+c2，解得c=1，a=2，b=3故椭圆的方程为x24+y23=1(2)由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x1)，代入椭圆方程x24+y23=1并整理得(4k2+3)x28k2x+4k212=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1+x2=8k24k2+3，x1x2
22、=4k2124k2+3，在直线AB中，令x=4得，M的坐标为(4,3k)，从而k1=y132x11，k2=y232x21，k3=3k3241=k12注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有y1x11=y2x21=k所以k1+k2=y132x11+y232x21=y1x11+y2x2132(1x11+1x21)=2k32x1+x22x1x2(x1+x2)+1，得k1+k2=2k328k24k2+324k2124k2+38k24k2+3+1=2k1又k3=k12，所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题意21.(1)f(x)=1+ax=x+ax，函数的定义域为(0,+)，当a0时，f(
23、x)0，f(x)在(0,+)上单调递增，没有减区间；当a0，得xa，此时函数f(x)的增区间为(a,+)，减区间为(0,a)；(2)f(x)1ax2+e，可化为x+alnx1ax2+e，若ae1ax2+e，不合题意，故a必为正数，不等式x+alnx1ax2+e，化为1ax2xalnx+e0，令g(x)=1ax2xalnx+e，有g(x)=2ax1ax=2x2axa2ax=(2x+a)(xa)ax，由函数g(x)的定义域为(0,+)，令g(x)0有xa，可得函数g(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+)，若g(x)0，必有g(x)min=g(a)=aaalna0，得alnae，当01时，令
24、(x)=xlnx(x1)，有(x)=lnx+10，可得函数(x)单调递增，又由(e)=e，可得1ae，由上知0ae22.解：()直线l的参数方程为x=1+tcosy=1+tsin(t为参数，0)，转换为普通方程为sinxcosy+cossin=0曲线C的极坐标方程为=4cos，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为(x2)2+y2=4()把直线l的参数方程为x=1+tcosy=1+tsin(t为参数，0)，代入(x2)2+y2=4，得到：t2+2(sincos)t2=0，所以t1+t2=2(cossin)，t1t2=2，故|AB|=|t1t2|=(t1+t2)24t1t2
25、=128sincos，点O(0,0)到直线l的距离d=|cossin|cos2+sin2=|cossin|，所以SOAB=12|AB|d=12128sincos|cossin|=3sin21sin2=(sin22)2122，当且仅当sin2=1，即=34时，等号成立，故OAB面积的最大值为2223.解：(1)当a=2，b=3时，f(x)=|x2|+|x+3|=2x1,x2，当x3时，f(x)7等价于2x17，解得x4，此时的解为4x2时，f(x)7等价于2x+17，解得x3，此时的解为2x3；综上，所求不等式的解集为4,3；(2)证明：由绝对值三角不等式可得f(x)=|xa|+|x+b|xaxb|=|a+b|=a+b，当且仅当(xa)(x+b)0时等号成立，又f(x)的最小值为4，故a+b=4，则a+2+b+2=8，1a+2+1b+2=18(a+2+b+2)(1a+2+1b+2)=18(a+2b+2+b+2a+2+2)18(2a+2b+2b+2a+2+2)=12，当且仅当a=b=2时取等号，原命题得证
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