1、育才学校2020-2021学年度第二学期第一次月考 高二数学理科一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设,是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则2.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.B.C.D.3.设是同一个半径为的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D. 4.如图所示,直观图四边形是一个底角为,腰和上底均为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A. B. C. D. 5.正四棱柱中, ,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C
2、. D. 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A. B. C. D.7.如图,四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（ ）A. B.与平面所成的角等于与平面所成的角C. D.与所成的角等于与所成的角8.下列四个结论:(1)两条不同的直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行.(2)两条不同的直线没有公共点,则这两条直线平行.(3)两条不同直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行.(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.其中正确
3、的个数为( )A.0B.1C.2D.39.如图，点N为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则( )A，且直线是相交直线 B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线 D，且直线是异面直线10.在长方体中, ,与平面所成的角为,则该长方体的体积为( )A. B. C. D. 11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为的正三角形. 若为底面的中心,则与平面的所成角的大小为( )A. B. C. D. 12、三棱锥 的顶点都在同一球面上,且 , ,则该球的体积为( ) A. B. C. D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.如图,已知平面平面且则_.14.已知
4、圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为_.15.在空间四边形中,平面平面且则与平面所成角的度数为_。16.四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_三、解答题(共6小题，10+12*5，共60分)17、如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点，求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值。18.如图,在四棱锥中,底面为正方形, ,.（1）若是的中点,求证: 平面;（2）若,求三棱锥的高.19、如图,在ABC 中,ACB=90. ,ABC=30. , BC=,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边B
5、C上,半圆与AC、AB 分别相切于点C、M,与BC交于点N),将ABC 绕直线BC旋转一周得到一个旋转体. （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; （2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积. 20.如图,在三棱锥中,是边长为4的正三角形,的中点为D,且平面平面.（1）求证:平面平面;（2）若点P在底面上的射影为的中点,且三棱锥的体积为,求三棱锥的表面积.21.如图,四边形为正方形, 分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1). 证明:平面平面;(2).求与平面所成角的正弦值22.如图,四棱锥 中,底面是菱形,其对角线的交点为,且（1）证明: 平面（2）若是
6、侧棱上一点,且平面,求三棱锥的体积育才学校2020-2021学年度第二学期第一次月考 高二数学理科试卷 参考答案1.答案：D 2.答案:A解析:由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分,如图所示,则3.答案：B解析：如图所示,点M为的重心,E为AC中心,当平面时,三棱锥体积最大(O是球心)此时,中,有故选B4.答案：A解析：由题可得,所以原平面图形中,根据梯形的面积计算公式可得.5.答案：D6.答案：A解析：设球的半径为由題意知,球被正方体上面截得圆的半径为,球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为,故选A.7.答案：D8.答案：A解析：(1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直
7、线三种位置关系都有可能;(2) 两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面;(3) 两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能;(4) 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内或与这个平面相交.9.答案：B解析： 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B10.答案：C解析：在长方体中,连接,根据线面角的定义可知,因为,所以,从而求得,所以该长方体的体积为,故选C.11.答案：B解析：如图所示,过作 平面于,则 为平面的中心,连接,延长交于点,则即为与平面所成的角.由,得, 即.又,故选B.12、
8、 解析： 命题人考查三棱锥与球的组合体及球的体积的有关知识. 由题意 ， 所以 ， 是两个截面圆 与 的直径 所以 是球的直径，球的半径为 所以球的体积为： 故选B 13.答案：13解析：连接由得所以在中,在中, 14.答案：解析：因为母线所成角的余弦值为,所以母线所成角的正弦值为,因为的面积为,设母线长为,所以所以因为: 与圆锥底面所成角为,所以店面半径为因此圆锥的侧面积为15.答案：解析：如图所示,取的终点连接由得因为平面平面平面平面平面平面为在平面上的射影, 为与平面所成的角。因为在中, 为的中点,又与平面所成角的读数为16.答案：解析：由题意，可得，又因为底面，所以，即平面，所以取的中
9、点O，则故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径 故外接球的表面积 故答案为 17、 略18.答案：1.设交于,连接.在正方形中, 为中点,则在三角形中,中位线,又平面,平面,平面2.在中,设的中点为,连接,则,且又,平面.平面.又, 三角形为直角三角形.又,(设三棱锥的高为),解得.所以点到平面的距离为19.略20.答案：1.因为为正三角形,且的中点为D,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.2.由已知得,设的中点为O,连接,则,得.由于O为的中点,且,所以,同理得.从而,.故三棱锥的表面积为.21.答案：(1).证明:分别为的中点,四边形为正方形,而: 平面,而平面,平面平面(2).记正方形边长为则: ,且由翻折的性质可知: 过作于连接,由1知:平面平面,平面平面,平面,即为与平面所成的角.记,则,在中,由勾股定理得: ,即,解得即与平面所成的角的正弦值为22.答案：1.,且是 中点,底面 是菱形,两对角线又,平面平面,平面平面,平面2.连结 ,平面平面,平面平面,是中点.底面 是菱形,且,
