1、2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每题5分）1设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD22设f（x）是可导函数，且，则f（x0）=（）AB1C0D23用数学归纳法证明34n+1+52n+1（nN）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A5634k+1+25（34k+1+52k+1）B34k+1+52k+1C3434k+1+5252k+1D25（34k+1+52k+1）4已知直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，则m的值为（）A0B2C1D35定积分si
2、n2dx+e|x|sinxdx的值等于（）AB +CD16函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）7设点P是曲线y=exx+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A）B0，）（）C0，），）D，）8设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）9设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径
3、为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD10函数f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）lnxx3）=2，则f（e）=（）Ae3+1Be3+2Ce3+e+1De3+e+211已知函数f（x）=（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数 b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，3）D（，）12函数f（x）=x33x29x+3，若函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，则m的取值范围为（）A（24，8）B（24，1C1，8D1，8）二
4、、填空题（4小题，每小题5分）13由直线，曲线及x轴所围图形的面积为14函数f（x）=xlnx的单调递增区间是15若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是16将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为三、解答题：17（1）求证：a2+b2+3ab+（a+b）；（2）已知a，b，c均为实数，且a=x2+2y+，b=y2+2z+，c=z2+2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于018已知f（n）=1+经计算得f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）（）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（）用数学归纳法证明你的猜想19某
5、地区的电价为0.8元/（kWh），年用电量为1亿kWh，今年电力部门计划下调电价以提高用电量、增加收益下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比，比例系数为50该地区电力的成本是0.5元/（kWh）（1）写出电力部门收益y与实际电价x间的函数关系时；（2）随着x的变化，y的变化有和规律？（3）电力部门将电价定为多少，能获得最大收益？20设t0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线（）用t表示a，b，c；（）若函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，求t的取值范围21已知函数f（x）=ln（x+1
6、）+ax2x，aR（）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（）若对任意实数b（1，2），当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围22已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（nN，n1）2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每题5分）1设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD2【考点】导数的几何意义【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线
7、互相垂直，斜率之间的关系k1k2=1，求出未知数a【解答】解：y=y=x=3y=即切线斜率为切线与直线ax+y+1=0垂直直线ax+y+1=0的斜率为a（a）=1得a=2故选D2设f（x）是可导函数，且，则f（x0）=（）AB1C0D2【考点】极限及其运算【分析】由导数的概念知f（x0）=，由此结合题设条件能够导出f（x0）的值【解答】解：，f（x0）=故选B3用数学归纳法证明34n+1+52n+1（nN）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A5634k+1+25（34k+1+52k+1）B34k+1+52k+1C3434k+1+5252k+1D25（3
8、4k+1+52k+1）【考点】数学归纳法【分析】根据指数运算法则化简34（k+1）+1+52（k+1）+1为34k+1+52k+1（kN）的倍数与8的倍数和的形式即可得到选项【解答】解：当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1=3434k+1+2552k+1=5634k+1+25（34k+1+52k+1）两个表达式都能被8整除，故选A4已知直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，则m的值为（）A0B2C1D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出m的值【解答】解：曲线y=x23lnx（x0）的导数为：y=2x，由题
9、意直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，可知2x=1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2故选：B5定积分sin2dx+e|x|sinxdx的值等于（）AB +CD1【考点】定积分【分析】根据二倍角公式和定积分的法则计算即可【解答】解： sin2dx=（cosx）dx=（xsinx）|=，设f（x）=e|x|sinx，则f（x）=e|x|sin（x）=e|x|sinx=f（x），f（x）为奇函数，e|x|sinxdx=0，故定积分sin2dx+e|x|sinxdx=，故选A6函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2
10、x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）【考点】其他不等式的解法【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=1代入F（x）中，由f（1）=2出F（1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集
11、为（1，+）故选B7设点P是曲线y=exx+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A）B0，）（）C0，），）D，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义结合三角函数的图象和性质进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=ex，即切线的斜率满足k=tan，则0，）（），故选：B8设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的
12、运算【分析】令F（x）=f（x）g（x），则F（x）0，【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0，F（x）在（，0）上为增函数；F（x）=f （x）g （x）=f （x）g （x）=F（x），F（x）为R上的奇函数，故F（x）在R上亦为增函数g（3）=0，必有F（3）=F（3）=0构造如图的F（x）=f （x）g（x）的图象，可知F（x）0的解集为（3，0）（3，+）00F（x）0，0的解集就是F（x）0的解集（3，0）（3，+）故选A9设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体
13、SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R=故选C10函数f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）lnxx3）=2，则f（e）=（）A
14、e3+1Be3+2Ce3+e+1De3+e+2【考点】函数单调性的性质【分析】由题意得f（x）lnxx3是定值，令f（x）lnxx3=t，得到lnt+t3+t=2，求出t的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（e）即可【解答】解：函数f（x）对定义域内的任意x，均有f（f（x）lnxx3）=2，则f（x）lnxx3是定值，不妨令f（x）lnxx3=t，则f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1，f（x）=lnx+x3+1，f（e）=lne+e3+1=e3+2，故选：B11已知函数f（x）=（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数 b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，3）
15、D（，）【考点】导数的运算【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围【解答】解：f（x）=f（x）=，x0，f（x）=，f（x）+xf（x）=，存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，1+2x（xb）0bx+，设g（x）=x+，bg（x）max，g（x）=1=，当g（x）=0时，解的x=，当g（x）0时，即x2时，函数单调递增，当g（x）0时，即x2时，函数单调递减，当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=b，故选：B12函数f（x）=x33x29x+3，若函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，则m的取值范围为（）A（24，8）
16、B（24，1C1，8D1，8）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，可转化为函数f（x）=x33x29x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出m的取值范围即可【解答】解：函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，即函数f（x）=x33x29x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，下研究函数f（x）=x33x29x+3的性质由题意f（x）=3x26x9令f（x）=3x26x90解得x3或x1又x2，5故f（x）=x33x29x+3在（2，1）与（3，5）上是增函数，在（1，3
17、）上是减函数，x=2，1，3，5时，函数值对应为1，8，24，8其图象如图，可得1m8故选D二、填空题（4小题，每小题5分）13由直线，曲线及x轴所围图形的面积为2ln2【考点】定积分的简单应用【分析】利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论【解答】解：由题意，直线，曲线及x轴所围图形的面积为=lnx=ln2ln=2ln2故答案为：2ln214函数f（x）=xlnx的单调递增区间是（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可【解答】解：y=xlnx定义域是x|x0y=1=当0时，x1或x0
18、（舍）故答案为：（1，+）15若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是1m0【考点】函数单调性的性质【分析】若函数变形为，只要考查函数就行了【解答】解：函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可画出g（x）的图象：解得1m0故填1m016将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为3+【考点】归纳推理【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n3）从左向右的第3个数，可先判断第n1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据【解答】解：
19、本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1行共有正整数1+2+（n1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+故答案为：3+三、解答题：17（1）求证：a2+b2+3ab+（a+b）；（2）已知a，b，c均为实数，且a=x2+2y+，b=y2+2z+，c=z2+2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0【考点】不等式的证明【分析】（1）运用重要不等式可得a2+b22ab，a2+32a，b2+32b，累加即可得证；（2）运用反证法证明，假设a，c，b都不大于0，可得a+b+c0，再由配方和平方非负，可得矛盾，即可得证【解答】证明：（1）由a2+b22ab，a2+32a，b2+
20、32b；将此三式相加得，2（a2+b2+3）2ab+2a+2b，即有a2+b2+3ab+（a+b）；（2）（反证法）假设a，c，b都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0，由a=x2+2y+，b=y2+2z+，c=z2+2x+，可得a+b+c=（x2+2y+）+（y2+2z+）+（z2+2x+）=（x2+2x+1）+（y2+2y+1）+（z2+2z+1）+3=（x+1）2+（y+1）2+（z+1）2+30，即a+b+c0与a+b+c0矛盾，故假设错误，原命题成立18已知f（n）=1+经计算得f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）（）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（）用数学归
21、纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】（）由题意知，由此得到一般性结论：（）利用数学归纳法证明即可【解答】解：（）由题意知，由此得到一般性结论：（或者猜测也行）（）利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，所以结论成立（2）假设n=k（k1，kN）时，结论成立，即，那么，n=k+1时， ，所以当n=k+1时，结论也成立综上所述，上述结论对n1，nN都成立，所以猜想成立19某地区的电价为0.8元/（kWh），年用电量为1亿kWh，今年电力部门计划下调电价以提高用电量、增加收益下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比，比例系数为50该地区电力的成本是0.5元/（kWh）（
22、1）写出电力部门收益y与实际电价x间的函数关系时；（2）随着x的变化，y的变化有和规律？（3）电力部门将电价定为多少，能获得最大收益？【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）根据题意可写出下调电价后新增的用电量，从而可得电力部门收益y与实际电价x间的函数关系式；（2）根据（1）中建立的函数，求导，令导数等于0，分析单调性即可得解（3）求出x=0.64时的函数值，进行比较，最大的就是最大值【解答】解：（1）设下调后的电价为x元/（kWh），依题意知用电量增至1+50（x0.8）2，电力部门的收益为：y=1+50（x0.8）2（x0.5），0.5x0.8（2）由（1）知：y=1+50（x0
23、.8）2（x0.5）=50x3105x2+73x16.5，0.5x0.8，y=150x2210x+73令y=0，解得x=0.76，或x=0.64可得：当0.5x0.64时函数递增；当0.64x0.76时函数递减；当0.76x0.8时函数递增；x=0.64，x=0.76为函数的极值点；（3）由（2）知电力部门将电价定位0.64元/（kWh）时，可以获得最大受益，最大受益为0.3192亿元20设t0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线（）用t表示a，b，c；（）若函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，求t的取
24、值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（I）根据函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），以及f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，建立方程组，即可用t表示a，b，c；（II）先利用导数求出y=f（x）g（x）的单调减区间，然后使（1，3）是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出t的范围【解答】解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，即t3+at=0因为t0，所以a=t2g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f（t）=g（t）而f（x）
25、=3x2+a，g（x）=2bx，所以3t2+a=2bt将a=t2代入上式得b=t因此c=ab=t3故a=t2，b=t，c=t3（II）y=f（x）g（x）=x3tx2t2x+t3，y=3x22txt2=（3x+t）（xt）当y=（3x+t）（xt）0时，函数y=f（x）g（x）单调递减由y0，若t0，则xt；若t0，则tx由题意，函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，则（1，3）（，t）或（1，3）（t，）所以t3或3即t9或t3t的取值范围为（，93，+）21已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2x，aR（）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（）若对任意实数b（1，2），当x（
26、1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值；（）由题意首先求得：，故应按a0，a=0，a0分类讨论：当a0时，易知函数f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，从而当b（0，1）时f（b）f（0），则不存在实数b（1，2），符合题意；当a0时，令f（x）=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函
27、数f（x）x（1，b的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在【解答】解：（）当a=时，则，化简得（x1），列表如下：x（1，0）0（0，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增函数f（x）在（1，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2，函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（）由题意，（1）当a0时，函数f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，此时，不存在实数b（1，2），使得当x（1，b）时，函
28、数f（x）的最大值为f（b）； （2）当a0时，令f（x）=0有x=0或，当，即a时，函数f（x）在（）和（0，+）上单调递增，在（）上单调递减，要存在实数b（1，2），使得当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），则f（）f（1），代入化简得，令（a），恒成立，故恒有，a时，恒成立；当，即0a时，函数f（x）在（1，0）和（）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得a1ln2，又1ln2，此时实数a的取值范围是1ln2a；当a=时，函数f（x）在（1，+）上单调递增，显然符合题意综上，实数a的取值范围是1ln2，+）22已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（1）求f（
29、x）的单调区间；（2）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（nN，n1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）0 （x（0，1）；当a0时，只需求f（x）max=f（a）=alnaa+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=【解答】解：（1）f（x）=当a0时，f（x）0，f（x）递减；当a0时，x（0，a）时，f（x）0，f（x）递增；x（a+）时，f（x）0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a0时，f（x）递减，f（1）=0f（x）0在（0，+）上不恒成立，当a0时，x（0，a）时，f（x）0，f（x）递增；x（a+）时，f（x）0，f（x）递减；f（x）max=f（a）=alnaa+1令g（a）=alnaa+1g（a）=lnag（a）的最小值为g（1）=0alnaa+10的解为a=1；（3）由（2）知：lnxx1 x1=+=2016年10月16日
