1、20212022学年度第一学期初期高二质量检测数学试卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知复数z12i，z2在复平面内对应的点在直线x1上，且满足1z2是实数，则z2等于()A 1i B 1i Ci Di2.已知空间向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于( ) A B C D3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则等于()Aab Bab Cab Dab4.在ABC中，点D在直线CB的延长线上，且4rs，则rs等于()A 0 B C D 35.某公司有一批专业技术人员，其中年龄
2、在3550岁的本科生和研究生分别有30人和20人，现用分层抽样法在3550岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取3人，则至少有1人为研究生的概率为()A B C D6.已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A 等腰三角形 B 等边三角形C 直角三角形 D 等腰直角三角形7.梯形OABC的直观图是一个等腰梯形OABC，等腰梯形OABC的底角为45，且面积为，则梯形ABCD的面积为()A 4 B 2 C 2 D8.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来
3、表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福感指数”分别为5,6,7,8,9,5，则这组数据第80百分位数是()A7B7.5 C8D99.甲从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A B C D10.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式V
4、L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A B C D11.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A 若m，则m B 若m，m，则C 若，则 D 若m，n，mn，则12.已知多面体ABCDEFG中(如图)，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则这个多面体的体积为() A 2 B 4 C 6 D 8二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 第14题第13题13.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线
5、段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF. 14.已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.15.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，AOC，且OC2，若，则的值是_16.在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，其中，R，则_.三、解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）在ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，已知m(c，ab)， n(ab，acosBb), mn.(1)求角A； (2)若a，求bc的取值范围18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点A(
6、4,0)，B(t,2)，C(6，t)，tR，O为坐标原点(1)若ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求|的最小值第19题19.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值20.（12分）在ABC中，已知3.(1)求证：tanB3tanA；(2)若cosC，求A的值21.（12分）已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积2
7、2.（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD中点，以AE为折痕，把DAE折起到DAE的位置，且平面DAE平面ABCE.(1)求证：ADBE；(2)求四棱锥DABCE的体积；(3)在棱ED上是否存在一点P，使得DB平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由答案解析1.【答案】B【解析】由z12i，得12i，由z2在复平面内对应的点在直线x1上，可设z21bi(bR)，则1z2(2i)(1bi)2b(2b1)i.又1z2为实数，所以2b10，b.所以z21i.2.【答案】B【解析】因为a(1，n,2)，b(2,1,2)，所以2ab(4,2n1,2)因为2ab与b
8、垂直，所以(2ab)b0，所以82n140，解得n，所以a，所以|a|.3.【答案】B【解析】如图所示，E是OD的中点，b.又ABEFDE，.3，.在AOE中，ab，ab，故选B.4.【答案】C【解析】4，3.()，r，s，rs，故选C.5.【答案】D【解析】设容量为5的样本中本科生的人数为m，由题意可得，解得m3，所以样本中有研究生2人，分别记为A，B，本科生3人，分别记为a，b，c，所以从中任意抽取3人的所有情况有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，B，c)，(A，a，b)，(A，a，c)，(A，b，c)，(B，a，b)，(B，a，c)，(B，b，c)，(a，b，c)，共10种，3人均为
9、本科生的情况只有(a，b，c)1种，所以至少有1人为研究生的概率为.6.【答案】C【解析】因为(3,4，8)，(2，3,1)，(5,1，7)，10370，BCAC，而|，|5，所以ABC是直角三角形7.【答案】A【解析】如图，由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA长度的2倍，如直观图，OA的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OABC的面积的2倍，又梯形OABC的面积为，原梯形的面积是4.故选A.8.【答案】C该组数据从小到大
10、排列为5,5,6,7,8,9，且680%4.8所以这组数据的第80百分位数是89.【答案】C【解析】甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有6636(对)，而相互垂直的有10对，故根据古典概型概率公式得P.10.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L2r，r，Vr2h.令L2h，提，故选D.11.【答案】B【解析】若m，则m与的关系不确定，故A错误；若m，则存在直线n，使mn，又由m，可得n，进而由面面垂直的判定定理得到，故B正确；若，则与关系不确定，故C错误；若m，n，mn，则与可能平行，也可能相交(此时
11、交线与m，n均平行)，故D错误故选B.12.【答案】B【解析】取DG中点M，连接CM，AM，FM，则这个多面体的体积可以表示为棱柱BEFADM与三棱锥CFMG以及四棱锥CABFM的和由于多面体ABCDEFG中(如图)，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，故棱柱BEFADM可看作是底面是直角三角形的三棱柱，其高是2，底面是两直角边分别是1,2的三角形，其体积是2212.三棱锥CFMG以CM为高，其长为2，底面是以MF2，MG1为直角边的直角三角形，其体积为221.由图形知，C到AM的距离就是四棱锥CABFM的高，由于AM，由等
12、面积法可求得C到AM的距离是，底面四边形是以AM与AB2为边长的矩形，故其体积为2.所以这个多面体的体积为24.故选B.13.【答案】a或2a【解析】由已知得B1DAC1，又CF平面AC1，B1DCF，故若CF平面B1DF，则必有CFDF.设AFx(0x3a)，则CF2x24a2，DF2a2(3ax)2，又CD2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或2a.故答案为a或2a.14.【答案】【解析】如图所示，设a，b，c，则a，b120，ca，cb，因为ac，bc，|cos，|.15.【答案】1【解析】由题意，知(1,0)，(0,1)设C(x，y)，则(x，y)，(x，
13、y)(1,0)(0,1)(，)，又AOC，OC2，x2cos，y2sin1，1.16.【答案】43【解析】设ABa，ADb，则ACab，AE12ab，AFa12b，AEAF(12ab)(a12b)(12)a(12)b，ab(12)a(12)b，12+=1，+12=1，=23，=23，43.17.【答案】(1)ca2b2，由余弦定理得a2c2b2bc2a22b2，a2b2c2bc.a2b2c22bccosA，cosA，A (0，)，A.(2)由正弦定理得2，b2sinB，c2sinC，bc2sinB2sinC2sinB2sin (AB)2sinB2sinAcosB2cosAsinB2sinB2c
14、osB2sinB3sinBcosB2sin.B，B，sin，bc.（1）由题意得AB=（t-4，2），AC=（2，t），BC=（6-t，t-2），若A=90，则AB?AC=0，即2（t-4）+2t=0，t=2；若B=90，则AB?BC=0，即（t-4）（6-t）+2（t-2）=0，t=62；若C=90，则AC?BC=0，即2（6-t）+t（t-2）=0，无解，满足条件的t的值为2或62（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，设D的坐标为（x，y），即（x-4，y）=（6-t，t-2），x-46-t，yt-2即D（10-t，t-2），|OD|*2=(10-t)*2+(t-2)*2=2t
15、*2-24t+104，当t=6时，|OD|的最小值为419.【答案】(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解如图，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CBCD，因此CGBD.又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD.由于FCCGC，FC，CG平面FCG，所以BD平面FCG，故BDFG，所以FGC为二面角FBDC的平面角在等腰三角形BCD中，由于BCD120，因此CGCB.又CBCF，所以GFCG，故cosFG
16、C，因此二面角FBDC的余弦值为.20.【答案】(1)证明因为3，所以ABACcosA3BABCcosB，即ACcosA3BCcosB.由正弦定理知，从而sinBcosA3sinAcosB.又因为0AB0，cosB0，所以tanB3tanA.(2)解因为cosC，0C0，所以tanA1，所以A.21.【答案】解(1)由题意知，(1，3,2)，点D在直线AC上，设(1，3,2)(，3，2)，D(，23，23)，(，23，32)(2,1,6)(2,13，23)，(1，3,2)(2,13，23)239461470，D.(2)(2,1，3)，(3，2，1)，|，|，231(2)(3)(1)7，cosB
17、cos，sinB，S7，以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.22.【答案】(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形，DEACEB45，AEB90，即BEAE.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面DAE，AD平面DAE，ADBE.(2)解取AE的中点F，连接DF，则DFAE.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，DF平面DAE，DF平面ABCE，VDABCES四边形ABCEDF(12)1.(3)解如图所示，连接AC交BE于Q，假设在DE上存在点P，使得DB平面PAC，连接PQ.DB平面DBE，平面DBE平面PACPQ，DBPQ，在EBD中，.在梯形ABCE中，即EPED，在棱ED上存在一点P，且EPED，使得DB平面PAC.
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