1、2021-2022学年度第二学期高一期中考试数学试题第卷（选择题 60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则A. -6B. 12C. 6D. -12【答案】A【解析】【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由在边上且，为的中点，.故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.2. 已知，为平面向量，且，则，夹角的余弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.【详解】，又
2、，又，故选：C.3. 在中，则（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求出的值【详解】解：因，故故选：【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题4. 在锐角中，角所对的边长分别为.若A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：考点：正弦定理解三角形5. 设，则A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得,再代入即可【详解】由题,所以,故选:D【点睛】本题考查复数的加减法的代数运算,属于基础题6. 如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A. ABB. ADC. BCD. AC【答案】
3、D【解析】【详解】因为AB与y轴重合，BC与x轴重合，所以ABBC，AB=2AB，BC=BC.所以在直角ABC中，AC为斜边，故ABADAC，BCAC.故选D.7. 已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A. B. C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323，故选B【点
4、睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现8. (2015新课标全国I理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以
5、，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式9. 已知向量，设的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由已知条件求出的坐标，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，所以，对于A，因为，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以与不共线，所以C错误，对于D，因为，的夹角为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：BD10. 若为钝角三角形，且，则边C的长度可以为（ ）A. 2B. 3C. D. 4【答案】AD【解析】【分析】由条件，又，所以在中为钝角的可能为角或角,所以，或，解得答案.
6、【详解】由三角形的边长能构成三角形，则有，又，所以在中为钝角的可能为角或角.则或所以或，解得：或所以选项A、D满足.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.11. （多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算【详解】设圆柱底面半径为，若高是，则，若高是，则，故选：AB12. 一个圆柱和一个圆锥底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为C. 圆柱的侧面
7、积与球面面积相等D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】【分析】依次判断每个选项：圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的侧面积为，B错误；圆柱的侧面积为，C正确；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.【详解】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的侧面积为，B错误；球面面积为，圆柱的侧面积为，C正确；，D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积，意在考查学生的计算能力.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知，是夹角为的两个单位向量，若，则实数k的值为_【答案】#1.25【解析】【分析】由，结合数量积公式转化，即可求解值.【详
8、解】因为，所以，即，又因为，是夹角为的两个单位向量，所以，所以.故答案为：14. 若复数满足，则复数_.【答案】【解析】【分析】由一定为实数,由题可知的虚部为,设,进而求解即可【详解】因为,所以的虚部为,设,则,解得,所以,故答案为:【点睛】本题考查相等复数,考查复数模的应用15. 在中，D为BC中点，则AD最长为_.【答案】3【解析】【分析】在和中，分别利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设，则，在中，由余弦定理，可得，即，在中，由余弦定理，可得，即，由+，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值为.故答案：.【点睛】本题主要考查
9、了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 在中，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求，根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】，由正弦定理可得：，解得： ，可得：本题正确结果：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题(共6小题，第17小题10分，其他小题各12分，共70分)17. 在平面直角坐标系中，已知三点的
10、坐标分别为()若，求实数的值()若三点能构成三角形，求实数的取值范围.【答案】() () 【解析】【详解】试题分析：() 由，得，用坐标表示计算即可；() 若三点能构成三角形，则三点不共线与不平行，用坐标表示即可.试题解析：()由题意有，由，得故解得()若三点能构成三角形，则三点不共线.则与不平行， 故解得.18. 已知复数.(1)当为何值时，复数是实数？(2)当为何值时，复数是纯虚数？【答案】(1)；(2)1.【解析】【分析】先求得,当其为实数时,虚部为0；当其为纯虚数时,实部为0,虚部不为0,进而求解即可【详解】(1)由题意,若复数是实数,则,即.(2)由（1）,若复数是纯虚数,则,即【点
11、睛】本题考查复数的分类,考查已知复数的类型求参数问题19. 在中,abc分别是角ABC的对边,且.(1)求角B的大小;(2)若,求的周长.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周长.【详解】(1)由余弦定理,得,将上式代入,整理得,角B为的内角,.(2)将,代入,即,的周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.20. 如图，D为直角ABC斜边BC上一点，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长；【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定
12、理即可得出；（2）设，则，于是，再利用余弦定理即可解出.【详解】（1）在中，根据正弦定理得： 因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）设，则，所以，在中，由余弦定理得：，即，解得：，即【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21. 已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，.(1)求实数的值；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】(1)3；(2).【解析】【分析】（1）,代入中,由相等复数求解即可；（2）由（1）可知,利用数量积求得的夹角,进而求解即可【详解】(1),，解得(2)由(1)知,设向量的夹角为,【点睛】本题考查相等复数的应用,考查复数的几何意义,考
13、查数量积的应用,考查运算能力22. 由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，记（1）当时，求；（2）请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值【答案】（1）； （2），；当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）在中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；（2）在中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.【小问1详解】根据题意，在中，又，故由正弦定理可得：解得，故.即.【小问2详解】由题可知，在中，则由正弦定理，可得，故可得，故. 即.当时，此时取得最大值.
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