1、路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-2成才之路 数学导数应用第三章1 函数的单调性与极值第三章第1课时 导数与函数的单调性第三章知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7课后强化作业8知能目标解读1结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性本节难点：函数的导数与单调性的关系知能自主梳理如果在某个区间内，函数yf(x)的导数_，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数_，则在这个
2、区间上，函数yf(x)是减少的f(x)0f(x)0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间(a，b)上f(x)0与f(x)为增函数的关系f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不成立如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件(2)f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f(x)0.当f(x)可导且f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件(3)f(x)0与f(x)为增函数的关系f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0
3、，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)0.当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件4求可导函数单调区间的一般步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域第二步，求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间第四步，确定f(x)在各个小区间的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性5yf(x)在(a，b)内可导，f(x)0
4、或f(x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f(x)0，所以yx3在R上单调递增6利用导数判断单调性常与一些参数有关，此时要注意对参数的分类讨论7导数的绝对值的大小对函数图像的影响一般地，如果一个函数在某一区间上导数的绝对值越大，说明函数在这个区间内的变化越快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些思路方法技巧用导数求函数的单调区间解析(1)y3x218x243(x2)(x4)，由y0得x4；由y0得2x4.函数的递增区间为(，2)，(4，)；递减区间是(2,4)点评研究函数的单调区间时，首先要
5、求函数的定义域，然后在定义域范围内研究函数的单调性，否则可能产生增根(2013重庆，17)设f(x)a(x5)26lnx，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间含参数的讨论问题点评讨论函数的单调性与求单调区间基本一致，一般用求导数法求解(2)yx2(aa2)xa3(xa)(xa2)，令y0得(xa)(xa2)0.当a0时，不等式的解集为axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；当0a1时，不等式的解集为a2x1时，不等式的解集为axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；a0，a1时，y0，此时，无减区间综上
6、所述：当a1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；当0a1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a0，a1时，无减区间恒成立问题点评这是利用导函数求函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量探索延拓创新利用导数证明不等式点评本题通过构造一个函数，再由此函数的单调性得函数的值域，从而证得结论已知xR，求证：exx1.分析首先应构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性解析证明：令f(x)exx1，f(x)ex1.x0，)时，ex10恒成立，即f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，当x(，0)时，f(x)ex10
7、得x2，选D.2已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0Df(x)0，g(x)0时，f(x)是增函数的，g(x)是增函数的，x0，g(x)0.3(2014新课标文，11)若函数f(x)kxlnx在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)答案D二、填空题4函数f(x)x3mx2m2的单调递减区间为(0,3)，则m_.5(2014扬州检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则m的取值范围是_三、解答题6确定函数y2x33x的单调区间课后强化作业（点此链接）
