1、邢台一中2018级高一数学试题第卷（选择题）一、选择题（共12小题，满分60分）1.在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理表示出，由A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数【详解】在中， ， 由余弦定理得：，又，故选：A【点睛】本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题2.若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，可以归纳出数列的通项公式【详解】依题意，所以此数列的一个通项公式为，故选：C【点睛】本题考
2、查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题3.等差数列前项的和为，若，则的值是（ ）A. 36B. 48C. 54D. 64【答案】C【解析】【分析】由等差数列an的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，再利用求和公式即可得出【详解】由等差数列an的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，则S9=9=54故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质确定选项.【详解】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不
3、成立；所以选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积【详解】依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形过，分别做，则和为斜边长为的等腰直角三角形，又，梯形的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即： 本题正确选项：【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根
4、据直观图与原图的面积比求原图的面积属于基础题6.如图，三棱锥中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，下列命题正确的是（ ）A. B. 与异面直线C. 平面D. 直线、相交于同一点【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质及平行直线的判定，可以排除；根据两平面相交有且仅有一条交线，可知、相交于同一点，排除【详解】依题意，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，则，故选项错误，选项错误；因为平面，平面，平面平面则，且 直线、相交于同一点故选项正确，选项错误本题正确选项：【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，考查学生对于此部分公理的掌握，属于基础题7.已知四面体的四个面都为直角三角形
5、，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.【详解】且为直角三角形 又平面，平面 平面由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球正方体外接球半径为体对角线的一半，即球的表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球
6、来求得结果.8.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为它的侧面展开图是圆心角为的扇形 又圆锥的表面积为 ，解得：母线长为：本题正确选项：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题9.在中，角，所对的边分别为，已知，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】计算三角形AB边上的
7、高即可得出结论【详解】C到AB的距离d=bsinA=3，当3a2时，符合条件的三角形有两个，故选C【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题10.在三棱锥中，面，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，解得，异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题11.
8、已知等差数列，其前项和为，则=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，由即可求得，结合等差数列前项和公式即可得解。【详解】设等差数列的公差为，则，所以，代入得：.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题。12.已知数列的前项和为，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得两式相减可得公比的值，由可得首项的值，结合可得，展开后利用基本不等式可得时取得最小值，结合为整数，检验即可得结果.【详解】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，则，解得，当且仅当时取等
9、号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.第卷（非选择题）二、填空题（共4小题，满分20分）13.已知数列满足，且，则_【答案】24【解析】【分析】利用递推关系式，通过累积法求解即可【
10、详解】数列满足，可得，可得故答案为：24【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力14.不等式解集是_【答案】【解析】【分析】把不等式化为，求出解集即可【详解】不等式可化为，解得， 所求不等式的解集是故答案为：【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题15.已知正数，满足，则的最小值是_【答案】【解析】分析】由已知可得，从而，利用基本不等式即可求解【详解】 正数，满足， ，则，当且仅当且即，时取得最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是进行1的代换16.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：面；平面平面；
11、三棱锥的体积不变.其中正确的命题序号是_【答案】【解析】【分析】由面面平行的判定与性质判断正确；由线面垂直的判定与性质判断正确；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断正确；利用等积法说明正确【详解】解：对于，连接，可得，平面，从而有平面，故正确；对于，由，且，得平面，则，故正确；对于，连接，由且，可得平面，又平面，由面面垂直的判定知平面平面，故正确；对于，容易证明，从而平面，故上任意一点到平面的距离均相等，以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何元素位置关系的证明，考查三棱锥的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌
12、握水平和分析推理能力.三、解答题（共6小题，满分70分）17.在中，角，所对的边分别为，已知满足.（）求角的大小；（）若，求的面积的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得，结合范围，可求的值；（）根据正弦定理将表示成的形式，根据三角形的面积公式可求，结合范围，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围【详解】（）由正弦定理得： （）由正弦定理得： 同理： 的面积的取值范围为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化
13、思想，属于中档题18.已知数列为等比数列，且（1）求公比和的值；（2）若的前项和为，求证：，成等差数列【答案】（1）3，27；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设得，结合为等比数列即可求得首项与公比，进一步求得的值；（2）由，可得，然后利用等差中项的概念证明成等差数列【详解】（1）由题设得，为等比数列，又，经检验，此时成立，且为等比数列，；（2）， ， 成等差数列【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前项和，考查计算能力，是中档题19.如图1所示，在等腰梯形，垂足为，将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积
14、【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，可得四边形为正方形，且，为中点在图2中，连结，证明结合，利用平面与平面平行的判定可得平面平面，从而得到平面；（2）由平面平面，得平面进一步得到求解三角形证明再由线面垂直的判定可得平面；（3）证明面，可得线段为三棱锥底面的高，然后利用等积法求三棱锥的体积【详解】（1）在如图的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为， ，又， 四边形为正方形，且，为中点在如图中，连结， 点是的中点，又 ，平面，平面， 平面平面，又 面，平面；（2） 平面平面，平面平面，平面， 平面又平面，又，满足，又，平面；（
15、3）， 面又线段为三棱锥底面的高， 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20.若是各项均为正数的数列的前项和，且（1）求，的值；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）1，3；（2）.【解析】【分析】（1）当时，解得由数列为正项数列，可得当时，又，解得由，解得；（2）由可得当时，当时，可得由利用裂项求和方法即可得出【详解】（1）当时，解得数列为正项数列，当时，又，解得由，解得（2），当时， 当时，时也符合上式故【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.某家
16、用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？【答案】20【解析】【分析】设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为，平均费用：，当，即时，取最小值当时，平均费用：，由此得到这种车开20年报废比较合算【详解】设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为：，平均费用：，当，即时，取最小值当时，平均费用： 这种车开20年，平均使用费用最低，故这种车开20年报废比较合算【点睛】本题考查函数在生产生活中的应用，考查函
17、数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题22.在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面， （1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，证明，推出平面，得到平面平面；（2）取的中点，连接，则，说明两两垂直，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，用向量夹角公式求出向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】（1）连接交于点，因为是菱形，所以，平面，又平面，平面，平面，平面ACF平面BDEF （2）取的中点，连接，则，平面，平面，两两垂直以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则，,则，所以，且，所以平面，所以平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则，得，令，得平面的一个法向量，从而.即二面角余弦值.【点睛】本题主要考查证明面面垂直、以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理、以及空间向量的方法求解即可，属于常考题型.