1、邢台一中20182019学年下学期第一次月考高一年级数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.数列，的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式【详解】数列an各项值为，各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，|an|2n1又数列的奇数项为负，偶数项为正，an（1）n（2n1）故选：C【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错2.若等差数列中，则为（ ）A. 8
2、B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知： .本题选择D选项.3.在等差数列中，已知，前7项和，则公差（ ）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】B【解析】因为等差数列中，已知，前项和，所以可得，故选B.4.设等比数列中，前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为是等比数列，所以成等比数列，则，即，解得，即，故选A考点：等比数列的性质及其应用5.的内角所对的边分别是，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由余弦定理可得，变形得，根据余弦定理可求得答案【详解】根据题意，若，则有：，整理得：，可得：，又
3、在中，故选：C【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题6.在等比数列中，若，且成等差数列，则其前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据题设条件求得，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，设等比数列公比为，因为，所以，解得，又由成等差数列，所以，即，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.已知分别为的三个内角的对边，已知，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是
4、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中，求得，由要使得三角形有两个，得到，即可求解。【详解】在中，由，则，要使得三角形有两个，则满足，即， 解得，即实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形个数的判定及应用，其中解答中熟记正弦定理的应用，以及三角形个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.在中，内角所对的边分别是，已知,，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知及余弦定理可得, 求出b的值，再由正弦定理即可求出结果.【详解】因为，由余弦定理可得：，整理可得，解得或（舍），所以由正弦定理可得.【点睛】本
5、题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.9.在中，内角所对的边分别是，若，则的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论10.锐角三角形的内角，的对边分别为，已知，则周长的最大值为（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化简，求得，再利用正弦定理求得边的表达式，然后利用三角
6、恒等变换化简周长的表达式，并由此求得周长的最大值.【详解】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理求三角形周长的最大值，考查三角恒等变换，属于中档题.11.已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，两式相除得，也满足, ，又的取值范围是，故选D.【方法点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式、等比数列的余弦公式与求和公式以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参
7、数范围问题，在可能的情况下尽量把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的式子, 这样就把问题转化为一端是含变量式子, 另一端是参数的不等式，便于利用最值法解决问题. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的多项式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.12.在中，内角所对的边分别是,且边上的高为,则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即a22bcsinA，将代入得：b2c22bc(cosAsinA)，2(cosAsinA)4si
8、n(A)，当A时取得最大值4，故选D点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.在中，内角所对的边分别是，则_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得，再根据，则，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，根据正弦定理得，则，又由，则，即，所
9、以.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理求得的值，再根据三角形的边角关系求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.等差数列与的前项和分别为和,若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的前n项公式和等差数列的性质，得出，即可求解.【详解】由题意知，等差数列与的前项和分别为和,满足，由等差数列的前n项和公式，可得.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质的应用，其中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理构造是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15.如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，为
10、楼顶，线段的长度为，在处测得，在处测得，且此时看楼顶的仰角，已知楼底和、在同一水平面上，则此楼高度_（精确到）【答案】【解析】【分析】先在ABD中利用正弦定理求得BD，再在RtBCD中，求得CD即可.【详解】在ABD中，由正弦定理，得：，由AB600，得：BD300，在RtBCD中，因为，所以，CDBD150212，故答案为.【点睛】本题考查了正弦定理在实际生活中应用，考查了仰角的概念，属于基础题.16.在数列中，, 则数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】利用数列的递推关系式，求出相邻两项的关系式，得出数列从第二项起是以2为首项，3为公比等比数列，即可求解.【详解】由题意知，数列满足，所以
11、两式相减可得，即，令时，所以，所以数列从第二项起构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以，所以所以数列的通项公式为.【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解数列的通项公式，以及等比数列通项公式的应用，其中解答中合理利用数列的递推公式，得到数列从第二项起是以2为首项，3为公比等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，内角所对的边分别是，的面积为，若.(1)求角;(2)若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求，结合范围，可求C的值由已知利用正弦定理
12、可求，利用大边对大角可求，进而可求A的值，根据三角形内角和定理可求B的值【详解】解：，可得，由，可得：，可得，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.在中，内角所对的边分别是，.(1)求角的大小；(2)若为边上一点，且，的面积为，求的长.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得：，解得sinB，结合bc，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值【详解】（1）C60，可得：sinC，由cb，可得
13、：，又由正弦定理，可得：，解得：sinB，由已知可得bc，可得B为锐角，可得：B45，A180BC75（2）BCD的面积为，即：aCDsinC，解得：CD1，由余弦定理可得：BD【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题19.已知正项等比数列满足，前三项和(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，的前项和为，证明：【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得
14、数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.详解：（1），且（2）点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.在中，角A，B，C对边分别为，且是与的等差中项. （1）求角A； （2）若，且的外接圆半径为1，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，得，由正弦定理，化简，进而得到，即可求
15、解；（2）设的外接圆半径为，求得，利用余弦定理求得，进而利用面积公式，即可求解【详解】（1）因为是与的等差中项.所以.由正弦定理得，从而可得，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此.（2）设的外接圆半径为，则，由余弦定理得，即，所以.所以的面积为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到21.已知数列满足,且.(1)证明数列是等差数列;(2)求数
16、列前项和.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对题设中的递推关系变形为，从而得到一个新的等差数列，其通项为，由此得.（2）利用错位相减法求.解析：(1)由 ,等式两端同时除以到,即 ,(2),数列 是首项为,公差为的等差数列, ，数列的前项和:,得:，即.22.已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式和前项和;(2)设是等比数列，且，求数列的前n项和【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，从而可得，进而得，；（2）令，设的公比为，计算和，可得，由可得，进而得，讨论为偶数和奇数时分别求和即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则由，得，解得， 所以，即，即 （2）令，设的公比为，从而， ，当为偶数时，；当为奇数时，.所以.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用
