1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修1-2数系的扩充与复数的引入第四章章末归纳总结第四章典例探究学案2自主预习学案1自主预习学案知 识 梳 理本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等在第二大节中，介绍了复数
2、代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则利用复数的四则运算，可把复数代数形式abi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数由此引出了复数运算
3、的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力1.复数代数形式zabi中，a、bR应用复数相等的条件，必须先化成代数形式2复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式zabi(a、bR)，z为纯虚数的条件为a0且b0，注意虚数与纯虚数的区别3复数运算的法则，不要死记硬背，加、减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化4a20是在实数范围内的性质
4、，在复数范围内z20不一定成立，|z|2z2.5复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量6不全为实数的两个复数不能比较大小7复平面的虚轴包括原点答案A答案C答案B解析(m2i)(1mi)(m2m)(m31)i是实数，mR，由abi(a、bR)是实数的充要条件是b0，得m310，即m1.典例探究学案熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提复数的概念下列命题中，正确命题的个数是_若x、yC则xyi1i的充要条件是xy1；若a、bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0；若aR，则(a1)i为纯虚数分析(1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；是复
5、数比较大小，必须全是实数才可比较；是在实数条件下x20求得结果，当x为复数时，x20未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当x1，yi时x2y20成立，是假命题 当a1时，aR，但(a1)i0不是纯虚数答案0点评解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a、bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分学习本章必须准确理解
6、复数的概念(3)虚数单位i的性质i21.i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i21.复数的运算答案0复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题复数及其运算的几何意义AEBFCGDH分析若zabi(a，bR)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点答案D答案D熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题复数的模答案C只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不必在复数的模与其轭复数的性质上下工夫共轭复数答案D答案B
