1、3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量问题引航1.什么是数乘向量？其方向是怎么规定的？2.共线向量的判定定理与性质定理的内容是什么？有什么应用？1.数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：定义：a是一个_.长度：_.方向：向量|a|相同相反任意(2)数乘向量的运算律：(a)=_(，R).(+)a=_(，R).(a+b)=_(R).()a a+a a+b2.向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b=_，则向量b与非零向量a共线.(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b=_.aa1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与
2、向量相乘得到数乘向量，实数与向量相加也能得到向量.()(2)数乘向量的运算满足结合律、分配律.()(3)若向量a,b共线，则一定有a=b(R).()2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)非零向量a与向量-2a的方向_.(2)aa+2a=_.(3)向量e1-e2与向量e2-e1的关系是_.【解析】1.(1)错误.实数与向量a可以作积，但不可以作加减法.(2)正确.由数乘向量的运算律可知正确.(3)错误.若向量b=0时,不存在.答案:(1)(2)(3)2.(1)非零向量a与向量2a的方向相反.答案:相反(2)aa+2a=a.答案：a(3)因为e1-e2=-(e2e1),故两向量共线.答案：共线
3、【要点探究】知识点1 数乘向量的定义及运算1.对实数与向量的积的理解(1)从代数的角度来看，是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；a=0的条件是a=0或=0.(2)从几何的角度来看，对于向量的长度而言，当|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长到|倍；当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(-10)上缩短到原来的|.2.对数乘向量的运算律的说明数乘向量满足对实数的结合律、分配律，即数乘向量的运算律类似于实数的运算律，可以类比记忆应用.【微思考】(1)数乘向量a的模一定比原来向量a的模大吗？提示：不一定，当|1时
4、模变大，否则模不变或变小.(2)实数与向量相乘的结果是实数吗？提示：实数与向量相乘的结果仍然是向量.【即时练】1.若a=2，则向量2a的模为_.2.化简：(1)a+bab=_.(2)(2014乐清高一检测)(2a+8b)-(4a-2b)=_.【解析】1.|2a|=2|a|=22=4.答案：42.(1)(2)由题意，得(2a+8b)-(4a-2b)=a+4b-4a+2b=-3a+6b，即原式=6b-3a.答案：(1)(2)6b-3a知识点2 共线向量的判定与性质对向量共线定理的两点说明(1)定理中,之所以规定a0,因为若a=0,当b=0时,对于任意的实数,均满足b=a;当b0,则不存在实数,满足
5、b=a.(2)若a,b不共线，且a=b，则必有=0.【微思考】利用共线向量定理判定向量共线的关键是什么?提示：关键是确定实数,满足a=b或b=a.【即时练】1.已知向量a=e,e0,b=2ae,若a=b,则=_.2.已知点C是线段AB的三等分点且靠近A点,则=_.【解析】1.故=.答案：2.因为AB=BC,故故=-.答案:-【题型示范】类型一数乘向量的运算【典例1】(1)(2014三亚高一检测)在ABC中，若点D满足则=()(2)D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点，且给出下列等式：其中正确的序号为_.【解题探究】1.利用向量的加法，题(1)中向量可以表示成哪些向量的和？2.题(2
6、)中三角形的中线、中位线具有什么样的性质？【探究提示】1.或2.三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，中位线是连接两边中点的线段，中线的一个端点是边的中点，中位线平行且等于对边的一半.【自主解答】(1)选D.方法一：方法二：(2)如图,答案：【延伸探究】本例题(1)中，若试表示【解析】【方法技巧】数乘向量的化简方法(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行.(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法(减法)找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简.(3)具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行.【变式训练】如图所示，已知C,D,E为AB的四等分点，求【解析】此
7、时，【补偿训练】把满足3x-2y=a，-4x+3y=b的向量x，y用a，b表示出来.【解析】由已知得3+2得x=3a+2b，4+3，得y=4a+3b.所以x=3a+2b,y=4a+3b.类型二共线向量定理的应用【典例2】(1)(2014遵义高一检测)在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中向量a,b不共线，则四边形ABCD为()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形(2)(2014宿迁高一检测)设两个非零向量a与b不共线若ab，2a8b，3(a-b)求证：A,B,D三点共线；试确定实数k，使kab和akb共线【解题探究】1.题(1)中能否求出向量？2.题(2)中A，B，D三点
8、共线应满足什么条件？ka+b和a+kb共线应满足什么条件？【探究提示】1.2.A，B，D三点共线应满足kab和akb共线应满足ka+b=(a+kb).【自主解答】(1)选A.因为=a+2b-4ab5a3b=8a2b=2 ，故ADBC且AD=2BC，故四边形ABCD为梯形.(2)因为所以所以共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即kabakb.所以(k)a(k1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，所以kk10，所以k210,所以k1.【方法技巧】用向量共线定理求参数的方法(1)三点A,B,C共线问题：利用构造方程求参数.(
9、2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤设：设ma+nb=(ka+pb).整：整理得ma+nb=ka+pb，故解：解方程组得参数的值.【变式训练】已知向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,其中e1，e2为不共线向量.(1)用向量a,b表示e1，e2.(2)向量a,b是否共线？请说明理由.【解题指南】(1)联立方程解出向量e1，e2.(2)利用a=b构造方程组解题.【解析】(1)由a=2e13e2,b=2e1+3e2,联立可解得(2)向量a,b不共线.假设向量a,b共线，则设a=b，可得：无解，故向量a,b不共线.【补偿训练】MN是ABC的中位线(其中M为AB的
10、中点，N为AC的中点)，求证：且MNBC.【证明】因为M，N是AB，AC边上的中点，所以所以，且MNBC.【易错误区】忽视共线向量的方向致误【典例】(2014榆林高一检测)若且则=_.【解析】(1)当点C在线段AB上时，如图，则即=2.(2)当点C在线段AB的延长线上时，如图，则与的方向相反，故=-2.答案：2或-2【常见误区】错解错因剖析2忽视阴影处的这种情况，导致漏掉一个解【防范措施】重视对向量方向的讨论根据向量共线的定义，当两个向量的方向相同或相反时均共线，因此需要对共线向量进行两种情况的讨论，避免漏解.如本例中若想当然地认为同向，则会漏掉解=2.【类题试解】若|a|=m，b与a的方向相反，且|b|=2，则a=_b.【解析】因为所以|a|=|b|.因为b与a方向相反，所以b与a共线.所以a=-b.答案：-
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