1、江淮十校2022届高三第一次联考数学（理科） 2021.8注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2已知，则（ ）ABCD3设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD4已知，则函数，有两个
2、零点的概率为（ ）ABCD5已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）ABCD6已知，则，的大小关系为（ ）ABCD7九章数学中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（ ）A4天B5天C6天D7天8的展开式中的系数为（ ）A12B16C20D249已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过定点的截面面积的最大值等于（ ）ABC3D210
3、已知，且，则（ ）ABCD11已知抛物线（），为焦点，直线过焦点与抛物线交于，两点，为原点，的面积为，且，则（ ）A2B4C6D812已知不等式恒成立，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约束条件，则的最大值为_14已知向量，若，则_15已知双曲线：的一条渐近线与圆：相交于，两点，则_16已知正方体的棱长为1，点为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）的内角，的对边分别为，且（1）求角；（2）求的最小值18（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，学生甲参加校团委举办的“学党
4、史，迎七一”党史知识竞赛，比赛共十道题，答对一题得10分，答错一题扣5分，假设每道题甲能答对的概率为，且每道题答对与否相互独立（1）求甲答题开始后，直到第4道题才答对的概率；（2）求甲得分的期望是多少？19（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，为的中点（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值20（12分）已知数列的前项和为，首项为，且（1）证明：为等差数列；（2）若的首项和公差均为1，求数列的前项和21（12分）已知椭圆：（）长轴长为4，在上运动，为的两个焦点，且的最小值为（1）求的方程；（2）已知过点（）的动直线交于两点，线段的中点为，若为定值，试求的值22（
5、12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，讨论零点的个数江淮十校2022届高三第一次联考数学（理科）试题参考答案与评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的题号123456789101112选项CABACABBDADC1C2A 解析：，故选A3B 解析：为奇函数，故选B4A 解析：，有2个零点，借助图像得，故选A5C 解析：对于A，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于D，当时，与图象不符，排除D，故选C6A 解析：，故选A7B 解析：大老鼠每天打洞的距离
6、成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列距离之和为，这两只老鼠相逢所需天数至少为5天，故选B8B 解析：因为，所以的系数为展开式中，的系数之和，由于，（），所以的系数为，故选B9D 解析：因为轴截面为顶角是的等腰三角形，故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时，故选D10A 解析：两边平方可得，所以，所以，所以，因为，所以，故选A11D 解析：抛物线的准线方程：，如图所示，作于，作于，作于，设，因为，所以，故，所以直线的方程，因为，所以，解得，故选D12C 解析：构造函数，易知在上单增，两边取对数得在上恒成立，令，易求出，故选C二、填空题：本题共4小
7、题，每小题5分，共20分1319解析：根据不等式组表示的平面区域，将初始直线：向上平移经过点时，取得最大值1914解析：，于是，解得15解析：不妨设双曲线：的一条渐近线方程为，圆：的标准方程为，故16解析：不妨设点在棱上，设，则，由勾股定理可得，其几何意义为轴上一动点（）到两定点与的距离之和易知其最小值即为到的距离，即又有平面几何知识知，的最大值在或处取得，当时，；当，故的取值范围为三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以（2）因为，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为18解：（1）记甲答题时第道题答对为
8、事件（），则事件，是相互独立事件，记甲答题开始后，直到第4道题才答对为事件，则，所以；（2）记甲答对的题数为随机变量，总得分为随机变量，则，所以，于是，所以甲得分的期望是70分19解：（1）取中点，则，又，于是为平行四边形则，又平面，平面，平面（注：其它方法酌情给分！）（2）以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，从而，取，同理平面的法向量为，设平面与平面所成锐角二面角大小为，则20解：（1）由题意得（）两式相减得从而再两式相减得又，于是为等差数列（注：其它方法酌情给非！）（2）由（1）可得为等差数列，又，于是则21解：（1）由题意得，设，长分别为，则，（当且仅当时取等号）从而，得，则椭圆的标准方程为（注：其它方法酌情给分！）（2）若直线的斜率不存在，易得；若直线的斜率存在，设其方程为，联立得，易知恒成立，设，则，且，要使上式为常数，必须且只需，即。此时为定值，符合题意综上可知，当时，能使得22解：（1），所以，所以切线方程为；（2）所以当时，当时，递减，当时，递增，因为，又因为当时，所以，所以，令，解得，故取，则，所以存在，使得，有两个零点；当时，有一个零点；当时，令，解得或，所以当时，递增，当时，递减，当时，递增，因为，令又因为当时，所以，又，存在使有一个零点综上：当时，有一个零点；当，有两个零点
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