1、1.3.2函数的极值与导数问题引航1.函数极值点、极值的定义是什么?函数取得极值的必要条件是什么?2.求可导函数极值的步骤有哪些?1.极小值点与极小值(1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_，f(a)=0.(2)符号：在点x=a附近的左侧f(x)0f(a)2.极大值点与极大值(1)特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_，f(b)=0.(2)符号：在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧_.(3)结论：点b叫做函数y=f(x)的极大值点，_叫做函数y=f(x)的极大值.3.极值的定义(1)极小值点、极大值点统
2、称为_.(2)极大值与极小值统称为_.都大f(x)0f(x)0f(x)01.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()(3)函数f(x)=有极值.()【解析】(1)正确.f(x)=3x2+2ax-1，其=(2a)2-43(-1)=4a2+120，所以f(x)=0有两个不等实根，故f(x)必有两个极值.故正确.(2)正确.在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切线与x轴平行或重合.(3)错误.在定义域内f(x)=-0，由极值的判断方法可知函数无极值.答案：(1)(2)(3)2.做一做(
3、请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为_.(2)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是_.(3)已知函数f(x)=x2-2lnx，则f(x)的极小值是_.【解析】(1)根据导函数的图象，若左侧的导数值大于零，右侧的导数值小于零，那么此点就是极大值点.因而有2个极大值点.答案：2(2)由题意知f(x)=3ax2+1=0有两个不同的实数根，所以a0.答案：a0)，所以x(0，1)时，f(x)0，f(x)的极小值是f(1)=1.答案：1【要点探究】知识点函数的极值点
4、和极值1.对极值概念的两点说明(1)端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)单调无极值：若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.2.极值点与导数为零的关系(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f(x0)=0”的充分不必要条件.(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在x0左侧和右侧f(x)的符号不同.(3)如果在x0的两侧f(x)的符号相同，则x0不是f(x)
5、的极值点.3.极值点的分布规律(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.4.函数在极值点附近切线斜率的变化规律从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.【知识拓展】极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.(2)不可导点可能是极值点，也可
6、能不是极值点.(3)导数为0是极值点的情况：f(x)=x2，f(0)=0，x=0是极值点.(4)导数为0但不是极值点的情况：f(x)=x3，f(0)=0，x=0不是极值点.(5)不可导点是极值点的情况：y=|sinx|，x=0不可导，是极值点.(6)不可导点不是极值点的情况：y=，x=0不可导，不是极值点.【微思考】(1)函数的极值点与函数单调性有什么关系?提示：极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点.(2)函数在某区间上若有多个极值点，则一定既有极大值点也有极小值点?提示：在一个给定的区间上，因为函数极值点左右两侧的单调性要发生变化，因此相邻的极值
7、点也要发生变化，所以极大值点与极小值点一定同时出现.【即时练】1.下列函数中，x=0是极值点的函数是()A.y=-x3 B.y=cos2xC.y=sinx-x D.y=2.函数f(x)=x(x-a)在x=1处取得极值，则a的值为_.【解析】1.选B.因为y=cos2x=，所以y=-sin 2x，显然当x=0时，y=0，x=0左侧附近的值大于零，右侧附近的值小于零，所以x=0是其极大值点.2.f(x)=x2-ax是开口向上，对称轴为x=的抛物线，在对称轴x=处取得极值，所以a=2.答案：2【题型示范】类型一求函数的极值点或极值【典例1】(1)(2014湛江高二检测)函数f(x)的导函数为f(x)
8、，若(x+1)f(x)0，则下列结论中正确的一项为()A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点(2)已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=时，都取得极值.求a，b的值；若f(-1)=，求f(x)的单调区间和极值.【解题探究】1.题(1)中如何根据(x+1)f(x)0确定f(x)的单调性？2.题(2)中由f(x)在x=1与x=处取得极值能得出什么结论？【探究提示】1.根据积商符号法则，可分x-1，x-1进行讨论，确定f(x)0或f(x)0，进而确定函数的单调性.2.能得
9、出f(1)=0，f（）=0.【自主解答】(1)选D.因为(x+1)f(x)0，所以x-1时，f(x)0，函数f(x)在区间(-1，+)上单调递增，x-1时，f(x)0，函数f(x)在区间(-，-1)上单调递减，但是函数f(x)在x=-1处不一定有定义，如f(x)=x=-1不是函数f(x)的极值点.故选D.(2)f(x)=3x2+2ax+b.由题设知，x=1，x=为f(x)=0的解.所以a=，b=-2.f(x)=x3-x2-2x+c，由f(-1)=-1-+2+c=，得c=1.所以f(x)=x3-x2-2x+1，f(x)=3x2-x-2.f(x)随x的变化情况如下表x(1，+)f(x)+-+所以f
10、(x)的递增区间为（-，）及(1，+)，递减区间为（，1）.当x=时，f(x)有极大值，f（）=当x=1时，f(x)有极小值，f(1)=【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)=0的根.(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.【变式训练】已知函数f(x)=+ln x，求f(x)的极值.【解析】因为f(x)=，令f(x)=0，则x=，注意函数定义域为(0，+)，所以驻点是x=，当x(0，)时，f(x)0，f(x)为增函数，所以x=是极小值点，f(x)的极小值为f()
11、=(1+ln 2)，没有极大值.【补偿训练】(2014西安高二检测)已知函数(c0且c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点.(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M-m1时k的取值范围.【解析】(1)f(x)=由题意知f(-c)=0，即得c2k-2c-ck=0，(*)因为c0，c1所以k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0，由根与系数的关系知另一个极值点为x=1或(x=c-).(2)由(*)式得k=，即当c1时，k0；当0c1时，k0时，f(x)在(-，-c)和(1，+)内是减函数，在(-c，1)内是增函数.所以M=f
12、(1)=m=f(-c)=由M-m=及k0，解得k()当k0，m=f(1)=0，M-m=恒成立.综上可知，所求k的取值范围为(-，-2)，+).类型二已知函数的极值求参数范围【典例2】(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=处有极值，则ac+2b的值为()A.-3 B.0 C.1 D.3(2)已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_.(3)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.求b的值；若函数f(x)无极值，求c的取值范围.【解题探究】1.题(1)中函数在x=处取得极值的必要条件是什么?2.题(2)中函数在R上有两个极值点，导
13、函数f(x)满足什么条件?3.题(3)中函数f(x)的导数是什么？其对称轴如何求?【探究提示】1.函数在x=处取得极值的必要条件是f()=0.2.函数在R上有两个极值点，导函数f(x)=0有两个不等的根.3.由题意知f(x)=3x2-2bx+2c，其对称轴可由系数确定，即对称轴为【自主解答】(1)选A.f(x)=3ax2+2bx+c，由题可知f()=3a()2+2b +c=0，所以所以ac+2b=-3，故选A.(2)f(x)=3x2+a，由题可知f(x)=0有两个不等的根，所以a0)上存在极值，求实数a的取值范围.【解析】因为f(x)=，x0，则f(x)=当0 x0，当x1时，f(x)0)上存
14、在极值，所以解得a1.【补偿训练】已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a，bR)，若函数f(x)在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求a，b的值.【解析】f(x)=-3x2+2ax，由f(x)=0得x=0或依题意有=4，所以a=6.又当x0时，f(x)0，当0 x0.故当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=b，所以b=-1.所以a=6，b=-1.类型三函数极值的综合应用【典例3】(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=2处取得极值，则f(1)+f(-1)的值一定()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0(2)已知f(x)=x3+
15、bx2+cx+2.若f(x)在x=1时有极值-1，求b，c的值.在的条件下，若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.【解题探究】1.题(1)中结合图象，方程f(x)=0的根的情况是怎样的?2.题(2)中函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点的实质是什么?【探究提示】1.方程f(x)=0有一正一负根，且两根之和小于零.2.函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点的实质是k的值介于极大值和极小值之间.【自主解答】(1)选B.由函数f(x)=ax3+bx2+cx，方程f(x)=3ax2+2bx+c=0有一正一负根，且两根
16、之和小于零，即且，所以ac0.函数f(x)在(x0，2)上为减函数，所以不等式f(x)=3ax2+2bx+c0，所以b0，因为f(1)+f(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)=2b0，所以f(1)+f(-1)的值一定大于0.(2)因为f(x)=x3+bx2+cx+2，所以f(x)=3x2+2bx+c.由已知得f(1)=0，f(1)=-1，所以解得b=1，c=-5.经验证，b=1，c=-5符合题意.由知f(x)=x3+x2-5x+2，f(x)=3x2+2x-5.由f(x)=0得x1=，x2=1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x1(1，+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小
17、值根据表格，当x=时函数取得极大值且极大值为f()=当x=1时函数取得极小值且极小值为f(1)=-1.根据题意结合上图可知k的取值范围为(-1，).【方法技巧】1.三次函数有极值的充要条件三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.2.三次函数单调性与极值(设x10，则f(x)在R上是增函数；若a0时，若a0，则f(x)的增区间为(-，x1)和(x2，+)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；若a00a0a0【变式训练】（2014陕西高考）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水
18、平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为（）【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为5，对四个选项中函数解析式进行求导，只有选项A的函数解析式求导得y=3，令y=0得x=5，所以只有选项A的解析式与图象相统一，故选A.【补偿训练】若a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值为_.【解析】因为f(x)=12x2-2ax-2b，又因为在x=1处有极值，所以a+b=6，因为a0，b0，所以当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9.答案：9【规范解答】用极值求解含有参数的函数问题【典例】(12分)已知f(x
19、)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值(ln(x+a)=).(1)求实数a的值.(2)若关于x的方程f(x)+b=0在区间-1，1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：若在处不能正确利用函数取得极值的必要条件，列不出关于a的方程，从而导致本例不得分.失分点2：若在处，不能合理利用已知条件，根据函数导数的变化情况，判断函数的单调性并求出函数的极值，则最多给6分.失分点3：若在处不会结合函数图象.利用函数的单调性和函数的极值列出关于b的不等式，则最多得8分.【悟题】提措施，导方向1.牢记常用的结论对于利用导
20、数求函数的极值问题，要牢固掌握函数取得极值的必要条件和求极值的一般方法，要对求得的导数为零的值进行检验，如本例要对a=2进行检验，否则会产生错误.2.定义域优先原则讨论函数问题，首先要考虑函数的定义域，在本例(2)中含有对数式，故求解时先求函数的定义域.3.数形结合思想的应用解决函数问题，特别是在已知函数单调性的情况下，可画出函数的大致图象，如在本例处，利用数形结合会使问题变得直观、明了.【类题试解】已知函数f(x)=e-x+ax，(1)已知x=-1是函数f(x)的极值点，求实数a的值.(2)若a=1，求函数f(x)的极值.【解析】(1)由f(x)=e-x+ax，得：f(x)=-e-x+a，因为x=-1是函数f(x)的极值点，所以f(-1)=-e+a=0，解得：a=e，经检验a=e符合条件.(2)令f(x)=-e-x+1=0，得：x=0，列表如下，当x=0时，f(x)的极小值为1；f(x)无极大值.x(-，0)0(0，+)f(x)-0+f(x)极小值
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