1、第2课时 分 析 法问题引航1.分析法的定义是什么?有什么特点?2.分析法与综合法有什么区别和联系?分析法的定义、框图表示及特点定义框图表示特点从要证明的_,逐步寻求使它成立的_,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_、_、_等).这种证明方法叫做分析法QP1 P1P2P2P3 得到一个明显成立的条件逆推证法或执果索因法结论出发充分条件定理定义公理1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明.()【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知
2、.而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)错误.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明,但并不是所有的证明题均可使用分析法证明.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)证明不等式(a2)成立所用的最适合的方法是.(2)要证明AB,若用作差比较法,只要证明.(3)在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,对三边a,b,c应满足的条件是a2b2+c2(填“”“B,只需证A-B0.答案:A-B0(3)因为a为最大边,且abc,所以要想A为钝角,只需cosA0,即cosA=0,只需要b2+c2b2+c2.答案:【要点探究】
3、知识点分析法1.对分析法的四点说明(1)思维特点:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的充分条件的过程.(2)思维过程:由结果追溯原因,即结果原因.(3)优点:容易探路且探路与表述合一;缺点:表述烦琐且不习惯,容易出错.(4)实际应用:在实际解题时,常常先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.2.分析法的证题思路分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发,一步一步探索下去,最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件,或者是可以证明的条件.【微思考】分析法是合情推理还是演绎推理?提示:分析法是演绎推
4、理,因为分析法的每一步都是严密的逻辑推理,因此得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”.【即时练】(2014郑州高二检测)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:则证明的依据应是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】选C.b2-ac3a2(a+c)2-ac0(a-c)(a-b)0.【题型示范】类型一用分析法证明不等式【典例1】(1)已知a,b是不相等的正数，则x与y的大小关系为_.(2)(2014合肥高一检测)已知a0，求证：【解题探究】1.题(1)中x,y有何特点?应怎样比较大小?2.题(2)中
5、的不等式能否用基本不等式证明?问题突破的关键点是什么?【探究提示】1.x,y都是用含有无理式的代数式来表达的,可比较x2与y2的大小(因为x,y均大于0).2.不能.解题的关键点是利用分析法,执果索因.【自主解答】(1)因为a,b0,所以x0,y0.要比较x与y的大小,只需比较x2与y2的大小.即比较与a+b的大小,因为a,b为不相等的正数,所以a+b,所以a+b,即x2y2,所以xy.答案:xb,则x,y的大小关系为.【解题指南】将x,y平方后比较x2,y2的大小,【解析】因为ab0,所以,所以比较x与y的大小，只需比较x2与y2的大小，即比较b-2 与-b的大小，由知，2 2b.所以b-2
6、 -b，即x2y2,故xy.答案：xy【方法技巧】分析法证明不等式的方法与技巧【变式训练】(2014潍坊高二检测)设a,b为实数.求证：【证明】要证只需证即证a2+b2 (a2+b2+2ab),即证a2+b22ab,由于a2+b22ab对一切实数恒成立.所以(a+b).【补偿训练】已知a6.求证：【证明】要证只需证即证即证只需证即证(a-3)(a-6)(a-5)(a-4)即证1820，因为1820显然成立，所以原不等式类型二综合法与分析法的综合应用【典例2】(1)证明函数f(x)=log2(+x)是奇函数.(2)ABC的三个内角A,B,C成等差数列,a,b,c分别是A,B,C所对的边,求证(a
7、+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【解题探究】1.题(1)中判断函数为奇函数的主要方法是什么?2.题(2)中隐含条件是什么?该怎样应用?【探究提示】1.利用奇函数的定义即f(-x)=-f(x).2.隐含条件为B=60,利用余弦定理可化得边之间的关系.【自主解答】(1)因为|x|,所以+x0恒成立.所以f(x)=log2(+x)的定义域为R,所以要证函数y=log2(+x)是奇函数,只需证f(-x)=-f(x),只需证log2(-x)+log2(+x)=0,只需证log2(-x)(+x)=0,因为(-x)(+x)=x2+1-x2=1,而log21=0所以上式成立.故函数f(x)=
8、log2(+x)是奇函数.(2)方法一:(分析法)要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,即证即证只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),只需证c2+a2=ac+b2,只需证b2=c2+a2-2accos60,只需证B=60.因为A,B,C成等差数列,所以B=60,所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.方法二:(综合法)因为ABC的三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60.由余弦定理知b2=c2+a2-2cacos60,得c2+a2=ac+b2,两边同时加上ab+bc得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边同时除以(a+b
9、)(b+c)得所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【方法技巧】1.分析法与综合法的关系分析法与综合法的关系可表示为下图:从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成证明,这就是综合法.由此使我们想到,用分析法探路,用综合法书写,也是一种很好的思维方式.2.分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是倒溯,综合法是顺推.因此常将二者交互使用,互补优缺点,从而形成分析综合法,其证明模式可用框图表示如下:其中P表示已知条件、定义、定理、公理等,Q表示可证明的结论.【变式训练】已知0a1,0b1,00,b0,a+b=1,所以ab8不可能成立,而1=a+b2 ,所以ab .所以原不等式成立.【规范解答】用分析法证明不等式【典例】(12分)若已知nN*,求证:log(n+1)(n+2)0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2,即证0(bc-ad)2.因为a,b,c,dR,所以上式恒成立.故原不等式成立,综合知,命题得证.
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