1、3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义问题引航1.复数的加法、减法如何进行?复数加法、减法的几何意义如何?2.复数的加减法与向量间的加减运算是否相同?复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1，z2，z3C,设分别与复数z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)相对应，且不共线加法减法运算法则z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i几何意义复数的和z1+z2与向量的坐标对应复数的差z1z2与向量的坐标对应z1，z2，z3C,设分别与复数z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)相对应，且不共线加法减法运算律交换律z1+z2=z
2、2+_结合律(z1+z2)+z3=z1+(_)z1z2+z31.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)复数与向量一一对应.()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()(3)因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小.()【解析】(1)错误.复数与复平面上的点一一对应,则复数与以原点为起点的向量一一对应,而不是与向量一一对应.(2)错误.复数与复数相加相减后依然是复数,可能为实数,也可能为虚数.(3)错误.虚数的模是实数,实数可以比较大小.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)计算：(3+5i)+(3-4i)=_.(2)(5-6i)+(-2-2i)-(
3、3+3i)=_.(3)已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i，则向量对应的复数为_.【解析】(1)(3+5i)+(3-4i)=6+i.答案：6+i(2)原式=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.答案：-11i(3)答案：1-i【要点探究】知识点1 复数的加法、减法运算对复数加法、减法运算的五点说明(1)一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.(4)
4、适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.(5)虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.【微思考】(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?提示:仍然是个复数,是一个确定的复数.(2)若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2?提示:不能.如2+i-i0,但2+i与i不能比较大小.【即时练】已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=()A.8i B.6C.6+8i D.6-8i【解析】选B.z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.知识点2 复数加减运算的几何意义对复数加减运算的两点说明(1)复数
5、的加法:根据复数加法的几何意义知,两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数.(2)复数的减法:根据复数减法的几何意义,两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数.【知识拓展】注意类比思想方法的运用.复数与向量有着天然的联系,要注意向量知识在复数学习中的催化作用.【微思考】(1)类比绝对值|x-x0|的几何意义,说明|z-z0|(z,z0C)的几何意义.提示:|z-z0|(z,z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离,即|ZZ0|=|z-z0|.(2)既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则来运算，是不是就有z1z2z2z1呢?提示:因为复数的几何意义只是强调了复数与向量
6、之间的对应关系；式子z1z2z2z1的左边是复数，而右边是向量，因此不能说z1z2与z2z1与相等【即时练】复数z1=1+2i,z2=3+5i分别对应复平面内A,B两点,则A，B两点的距离为_.【解析】复数z1=1+2i,z2=3+5i分别对应复平面内A,B两点的坐标为(1，2)，(3，5)，则|AB|=答案：【题型示范】类型一复数的加法、减法运算【典例1】(1)若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴上,则a=()A.-2 B.2 C.-1 D.1(2)计算:(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i);1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).【解题
7、探究】1.复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数的虚部是多少?2.题(2)中各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多少?中的i2等于多少?【探究提示】1.z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实轴上的点所对应复数的虚部是0.2.各小括号内的复数所对应的实部分别是1,-2,-2,1,虚部分别是2,1,-1,-2.中的i2等于-1.【自主解答】(1)选C.由z1+z2=5+(a+1)i所对应的点在实轴上得a=-1.(2)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i)=(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i
8、.【方法技巧】复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.【变式训练】计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-(3+4i)-(-1+3i).【解析】(1)原式=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)原式=5i-(4+i)=-4+4i.【误区警示】注意运算格式及范围避免出错(1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而
9、不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i.(2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与虚部分别相加.【补偿训练】计算(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).【解析】原式=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.类型二复数的加法、减法运算的几何意义【典例2】(1)在复平面内,平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A,B,C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为.(2)已知z1，z2C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=求|z1z2|【解题探究】1.点A,B,C的坐标分别是多少？向量与向量是否
10、相等？2.由复数的几何意义可知，z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z，则它们与原点构成了一个什么样的图形？【探究提示】1.顶点A,B,C的坐标分别是(1，3)，(0，-1)，(2，1)；由平行四边形ABCD知，向量与向量相等.2.在复平面内画出图形可知为平行四边形.【自主解答】(1)设D(x,y),类比向量的运算知所以有复数i(1+3i)=2+i(x+yi)得x=3,y=5,所以D对应的复数为3+5i.答案：3+5i(2)设复数z1，z2，z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|=|z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在OZ1Z中
11、，由余弦定理，得所以OZ1Z=120，所以Z1OZ2=60，因此，OZ1Z2是正三角形，所以|z1z2|=|Z2Z1|=1【延伸探究】若把题(2)中的条件“|z1+z2|=”改为“|z1-z2|=1”，则|z1+z2|等于多少？【解析】设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2-2|z1|z2|cosOZ1Z，因为Z1OZ2=60,所以OZ1Z=120，所以|z1+z2|=【方法技巧】利用复数加
12、减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)技巧:形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形【变式训练】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)表示的复数.(2)对角线表示的复
13、数.(3)对角线表示的复数【解题指南】(1)中注意向量的起点与终点.(2)注意把向量用向量表示.(3)借助向量的运算【解析】(1)则对应的复数为(32i)，即32i.(2)所以对应的复数为(32i)(2+4i)52i.(3)所以对应的复数为(32i)(24i)16i.【补偿训练】复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数【解析】设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.因为所以(
14、x1)(y2)i13i.所以解得故点D对应的复数为2i.【易错误区】复数运算中思维不严谨而致误【典例】设x0,2),复数z1=cosx+isinx对应的点在第一象限中直线y=x的左上方,z2=1-i,则|z1+z2|的取值范围是.【解析】由已知得z1+z2=(cos x+1)+(sin x-1)i，所以|z1+z2|=因为复数z1=cos x+isin x对应的点在第一象限中直线y=x的左上方，且x0,2)，所以解得所以故所以答案：【常见误区】错解错因剖析忽视阴影处x的取值范围，想当然地认为x可以取0,2)范围内的任意实数,从而cos（x+）的范围是-1,1，故得错误的结果为【防范措施】1题目条件的充分利用解题时，要仔细审题，建立条件与所求之间的联系，实现题目条件向结论的正确转化，如本例根据已知条件，将|z1+z2|化为三角函数式，再化简求值.2.注意条件的挖掘已知复数z=a+bi,根据复数的几何意义，已知点的坐标所在位置，可得a,b的取值范围，如本例中根据z1对应的点的位置可列不等式组，得到x的取值范围.【类题试解】若复数z1=2cos+isin,z2=cos-(sin-1)i,(0,),且z1-z20,则=_.【解析】由条件得z1-z2=cos+(2sin-1)i,因为z1-z20,所以由2sin-1=0,得sin=又(0,),所以当=时，cos=0,故舍去,所以答案：
