1、浙江省绿色联盟2019届高三5月适应性考试数学试题一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分。1.复数z1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，则z1 =（ ）A.4-5iB.3iC.4-3iD.-5i【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：. 故答案为：D 【分析】利用复数的运算性质即可得出结果。2.已知x，y为实数，则“xy0”是|x+y|x-y|的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：由， 当时，成立，当时，也成立。 故答案为
2、：C 【分析】根据题意对x、y分情况讨论即可得出结论成立。3.已知a为第二象限角，且3sina+cosa=0，则sina=（ ） A.B.C.- D.- 【答案】 A 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】解：， 已知a为第二象限角，sinabcB.cabC.acbD.cba【答案】 D 【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】解：结合指数函数的图像和性质，可得出. 故答案为：D 【分析】结合指数函数与对数函数的图像与性质对比即可。10.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若 ，设+2的最大值为M，最小值为N，
3、则M-N的值为（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】圆的标准方程，直线和圆的方程的应用 【解析】【解答】解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系B(1，0)C(1，2)D(0，2)，直线BD：y=-2x+2，圆方程为：， 又， ， 则 ， 圆与直线BD相切，则半径。点p坐标可表示为则， 当时，有最大值， 当有最小值,所以M-N=。 故答案为：C 【分析】根据题意建立直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出， ， 的坐标，再结合直线与圆相切的性质求出半径，再设出点P的极坐标求出关于的代数式，结合正弦型函数的图像与性质即可求出最大值与最小值，从而求出M-N的值。 二、填空题(本大题共7小题，1
4、1-14每空3分，15-17每小题4分，共36分）11.已知函数f(x）=aex+|x|+a-1为偶函数，则实数a=_：关于x的不等式|f(x)|0的解为 _ 【答案】 0；x=1【考点】函数奇偶性的性质，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：根据已知条件可得函数为偶函数故有f(-x)=f(x),a=0. 故答案为：0，【分析】结合函数的奇偶性的定义，f(-x)=f(x),进而求出a的值，求出函数f(x）的解析式，从而得出不等式的解即可。12.已知点M为双曲线x2- =1左支上一动点，右焦点为F，点N（0，6），则该双曲线的离心率为：_；|MN|+|MF|的最小值为_ 【答案】 3；2+3
5、【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解:设双曲线的左焦点为,由双曲线,可得a=1,b=,c=3, 即有,(3,0),F(-3,0) 由双曲线的定义可得|MN|+|MF| =,当M在左支上运动到M,N,共线时,取得最小值, 则最小值为. 故答案为：3， 【分析】首先求出双曲线的左焦点为（-3,0）,以及双曲线的a,b,c的值,运再用双曲线的定义可得,考虑点M在左支上运动到与N,共线时,取得最小值,即为求出其值即可。 13.已知随机变量满足P(=i）= （i=1，2，3），则E(）=_；D(）=_ 【答案】；【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：, 故答案为：
6、【分析】根据题意结合方差与期望值的公式代入数值求出即可。14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2-b2+2bccosA-2c=0，c cosA=b(1-cosC)，且C= ，则c=_；ABC的面积S=_ 【答案】 1；【考点】余弦定理的应用 【解析】【解答】解：利用余弦定理整理化简 a2+c2-b2+2bccosA-2c=0， 即可得到,即可求出.再由 c cosA=b(1-cosC)，结合正弦定理可得则，或cosC=0,（舍去）当sinB=cosA,A=B,三角形ABC为等腰三角形，利用余弦定理,. 故答案为：1，【分析】由已知条件结合余弦定理整理即可求出c的值，
7、再结合余弦定理判断出三角形的形状，进而求出三角形的面积。15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 【答案】【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由题意可知，该几何体为如图所示放在棱长为1的正方体中的棱台中，【分析】首先结合三视图的性质求出该几何体，并把该几何体嵌入正方体中，再结合体积公式代入数值求出结果即可。16.如图，在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB，学生座位区域CEFD距黑板最近1米，在教室左侧边CE上寻找黑板AB的最大视角点P（即使APB最大），则CP=_时，APB最大 【答案】-1 【考点】函数单调性的性质，两角和与差的
8、正切函数 【解析】【解答】解：设,.=,令,f(x)在上单调递减在单调递增，从而CP有最大值即当取得最大值，故CP为. 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式代入数值求出结果即可。17.已知数列an满足an+1+(-1)nan=n(nN*)，记数列an的前n项和为Sn ， 则S60=_ 【答案】 930 【考点】数列的函数特性 【解析】【解答】解： an+1+(-1)nan=n ，,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于1,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项,以8为公差的等差数列.的前60项和为. 【分析】利用数列 an 递推式,可得数列是从第一项开始,依次取2个相邻奇
9、数项的和都等于1,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项,以8为公差的等差数列,由此可得结论.三、解答题(本大题共5小题，共74分）18.已知函数f(x)=sinxsin( -x)- cos2x （）求f（ ）的值：（)求f(x)的单调区间。【答案】 解：（）f( ）=sin sin（ - ）- cos2= =0 （)f(x)=sin xsin( -x)- cos2x= sin2x- (1+cos2x)=sin(2x- )- 由2kx- 2x- 2k+ ，kZ， 得f(x)单调递增区间为k- ，k+ ，kZ 由2kx+ 2x- 2k+ ，kZ， 得f(x）单调递减区间为k+ ，k
10、+ ，kZ【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性 【解析】【分析】 （） 把代入解析式求出对应的数值即可。 （) 首先利用诱导公式以及正、余弦二倍角公式整理化简原式，再结合正弦函数的图像与性质即可得出函数f(x)的单调递减区间。 19.如图，圆的直径AC=2，B为圆周上不与点A，C重合的点，PA垂直于圆所在的平面，PCA=45 （）求证：PBBC；（）若BC= ，求二面角B-PC-A的余弦值【答案】 解：（）如图，连结AB， 因为PA平面ABC，所以PABC 又因为B在圆周上，所以ABBC故BC平面PAB 故BCPB （）解法一：过B作BD的垂线，垂足为D
11、，则BD平面PAC 再过D作PC的垂线，垂足为E，则由PCBD，PCDE，可知BED即为所求的角 因为BC= ，所以BD= ，CD= 又因为PCA=45，所以DE= ，BE= 所以cosBDE= （) 解法二：因为ABC=90，所以可以以BC，BA为x，y轴建立如图直角坐标系则B(0，0，0），A(0，1，0），C( ，0，0），P(0，1，2)=( ，0，0)， =（0，1，2) 平面PAC的一个法向量 =（1， ，0）设平面PBC的一个法向量 =（x，y，z)则 ， ，得 x=0，y+2z=0取z=1，得 =（0，-2，1）故cos= = 【考点】两条直线垂直的判定，用空间向量求平面间的夹
12、角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】 （） 结合线面垂直的性质得出线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出线线垂直即可。 （） 解法一：首先作出辅助线即面的垂线以及二面角棱的垂线，从而找到二面角的平面角，结合解三角形的知识代入数值求出其余弦值。 解法二：建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标以及向量的坐标，找到平面PAC的一个法向量 =（1， ，0） ，利用向量垂直的坐标表示再结合向量的数量积运算公式求出两个法向量的夹角的余弦值即可得出两个平面所成的角的余弦值。20.已知数列an满足a1=3，n2时，an-2an-1=3n （）当=0时，求数列an的前n项和Sn：（）当=n时，求证：对任意n
13、N*， 为定值。【答案】 解：（）当=0时，an-2an-1=0 数列an是以a1=3，公比为2的等比数列所以Sn= =32n-3 （）当=n时，n2时，an-2an-1=nx3n令bn= ，bn-bn-1= bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2）+(b2-b1)+b1= +（n-1） + + 这是一个等差等比结构，利用错位相减法求和由 bn= 。两式相减得 = bn=2( ）n+1+61-( ）n）于是 an=n3n+1+6(2n-3n) n2， =3为定值，n=1时，也满足，因此，对任意nN+ ， 为定值3 （）数学归纳法）令bn= ，当n=1时，b1= =3 假设n=k时命题成
14、立，即bk= =3 即ak=（k-2)3k+1+32k+1由题设ak+1=2ak+（k+1)3k+1=2（k-2)3k+1+32k+2+（k+1)3k+1=（3k-3）3k+1+32k+2 13分所以bk+1= =3，即n=k+1时，命题也成立根据数学归纳原理，所命题得证【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】 （） 根据题意首先证明出该数列 an 为等比数列，并把数值代入到等比数列的前n项和公式计算出结果即可。 （） 由已知可证出数列的通项公式，进而分析可得出这是一个等差等比结构 ，利用错位相减法求和 可到 bn=2( ）n+1+61-( ）n） ，进而得到 an的通
15、项公式，再对n分情况然后结合数学归纳法对上式进行推理证明即可。 21.已知圆A的半径为2，B为平面上一点，|AB|=a(a2)，P是圆上动点，线段PB的垂直平分线l和直线PA相交于点Q （）以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求Q点的轨迹方程；（)设（）中Q点轨迹与直线 x-2y-1=0相交于M，N两点，求三角形OMN的面积的取值范围【答案】 解：（）以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图 因为a2，连QB，由已知，得|QB|=|QP|，所以|QA|+|QB|=|AP|=2 由椭圆定义可知，点2的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为x2+ =1
16、 （）由（)知，Q点轨迹是椭圆x2+ =1，与 x-2y-1=0交于M(x1 ， y1），N(x2 ， y2），由 消去y得（6-a2）x2-2 x+a2-3=0， 故SOMN= = 令6-a2=1，t(2，6），则SOMN= 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【分析】 （） 根据题意建立直角坐标系，由线段垂直平分线的性质即可得出 |QB|=|QP| ，进而得到 |QA|+|QB|=|AP|=2 由椭圆定义可知，点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出方程即可。 （） 联立直线与椭圆的方程消去y可得出关于x的一元二次方程，结合韦达定理求出， 进而求出弦长公式的代数式，
17、然后利用三角形面积公式得到关于三角形面积的关于a的代数式，利用整体思想再结合基本不等式求出最值即可。22.已知函数f(x）= x3- x2- x1nx，设f(x）的导函数为g（x） （1）求证：g(x)0； （）设g（x）的极大值点为高，求证：e-2g（x0）0，（ ）0，当x(x0 ， 1)，h(x)0，所以x=x0是g(x)的唯一的极大值点，故2x0-2-1nx0=0，x0（e-2 ， ）所以g（x)max=g(x0)=x02-x0-x0Inx0=-x02+x0g(e-1）=e-2故e-2g(x0)【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】 （） 首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质得到原函数的单调性以及单调区间。 （） 利用导函数的性质研究原函数的单调性以及零点存在，再结合单调性求出极值进而得证结论。