1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数概念第一章1.1.1 集合的概念章末归纳总结第一章1.1.1 集合的概念题型探究专题一 集合学习中的注意点剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析1注意正确理解、运用集合语言例1(1)设集合Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则AB_；(2)设集合My|yx21，xR，Ny|yx1，xR，则MN()A(0,1)，(0,2)B(0,1)，(0,2)Cy|y1或y
2、2 Dy|y1分析首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集解析(1)集合A中的元素为数，即表示二次函数yx2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线yx2上的点的集合这两个集合不可能有相同的元素，故AB.(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数yx21与yx1的值域，不是数对或点，故选项A，B错 误 而 M y|y x2 1，xR y|y1，Ny|yR，所以MNM.故选D.答案(1)(2)D规律总结：学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的2注意元素的互
3、异性例2已知1a2，(a1)2，a23a3，求实数a的值解析由题意a21，或(a1)21，或a23a31，解得a1，或a2，或a0.当a2时，(a1)2a23a31，不符合元素的互异性这一特点，故a2.同理a1.故a0.规律总结：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验3注意空集的特殊性例3已知全集U1,2,3,4,5，Ax|x24xp0，求UA.分析符号UA隐含了AU，注意不要忘记A的情形解析当A时，方程x24xp0无实数解此时164p0，p4，UAUU1,2,3,4,5当A时，方程x24xp0的两个根
4、x1，x2(x1x2)，必须来自于U.由于x1x24，所以x1x22或x11，x23.当x1x22时，p4，此时A2，UA1,3,4,5；当x11，x23时，p3，此时A1,3，UA2,4,5综上所述，当p4时，UA1,2,3,4,5；当p4时，UA1,3,4,5；当p3时，UA2,4,5规律总结：求集合的补集时，不要忘记的情形分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到专题二 求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3)复合函数问题
5、：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域注意f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围答案(1)D(2)A专题三 二次函数的单调性与最大(小)值求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定
6、时，还需要进行分类讨论例5已知f(x)x22(a1)xa2，分别求下列条件下a的取值范围(1)函数f(x)的减区间为(，1；(2)函数f(x)在(，1上递减；(3)函数f(x)在1,2上单调分析此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定解析函数f(x)x22(a1)xa2的对称轴为x1a.(1)由于减区间为(，1，因此，1a1，a2.(2)由于函数在(，1上递减，应满足1a1，a2.(3)由于函数在1,2上单调，应满足1a1或1a2，a2或a1.例6已知函数f(x)x2(2a4)x2在1,1内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式分析欲求f(x)在1,1上的最小值g(a)，
7、需考虑f(x)在1,1上的单调性，而f(x)在1,1上的单调性与对称轴相对于区间1,1的位置有关，即对称轴在区间1,1之左、之内、之右时，f(x)在1,1上的单调性不同因此需关于对称轴相对于区间1,1上的位置展开讨论解析对二次函数式配方，可得f(x)x(a2)2(a2)22，x1,1其图象的对称轴为直线xa2.(1)当a21即a0)在区间m，n上的最值的求法(如图)：(3)注意事项：a0恒成立求实数a的取值范围解析由已知x1，)，x22xa0恒成立，即ax22x，x1，)恒成立令g(x)x22x，x1，)，则原问题可转化为a小于g(x)在1，)上的最小值问题g(x)(x1)21的图象的对称轴为
8、x1，函数g(x)在1，)上是增函数当x1时，g(x)取最小值，g(1)3.a3.实数a的取值范围为a|a3规律总结：ag(x)，x1，)恒成立，指的是对1，)内的任意x，该不等式永远成立，因此只要有ag(x)min，就能保证ag(x)，x1，)恒成立如果是ag(x)恒成立，则需ag(x)min.4函数与方程思想函数思想是将所给问题转化为函数的问题，利用函数的性质，研究后得出所需的结论利用函数思想处理问题，首先要熟练掌握常见函数的图象特征，同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，从而恰当构造函数并准确地利用函数性质使问题得以解决例11当m为怎样的实数时，方程x24|x|5m有四个互不相等的实数根？从图中可以直接看出，当1m5时，方程有四个互不相等的实数根例12定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(4x)，且f(2x)f(x2)0，求f(2 012)的值分析可巧妙的通过tx2赋值，由f(t)f(t)0，得f(x)为奇函数解析f(2x)f(x2)0，令tx2，xt2.代入有f(t)f(t)0，f(x)为奇函数，则有f(0)0.又f(x4)f4(x4)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，f(2 012)f(2 0084)f(2 008)f(2 0008)f(2 000)f(1 9928)f(1 992)f(0)0.
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