1、数学必修3（苏教版）第3章 概 率33 几何概型情景切入国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？你会计算吗？1理解几何概型的定义及特点2掌握几何概型的概率计算公式自主学习要点导航典例剖析栏目链接自 主学 习1对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域中随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而
2、一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是_、_、_等，用这种方法处理随机试验，称为_2一般地，在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则P(A)_自主学习要点导航典例剖析栏目链接线段 平面图形 立体图形几何概型自 主学 习自主学习要点导航典例剖析栏目链接要求D的测度不为_，其中当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是_、_和_3在几何概型中，概率为0的事件_，概率为1的事件_0长度 面积 体积可能发生不一定发生自主学习要点导航典例剖析栏目链接一、几何概型的概念要 点导 航1几何概型的概念：事件A理解为区域的某
3、一子区域A(如下图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型自主学习要点导航典例剖析栏目链接要 点导 航2几何概型的特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思想是相同的，同属于“比例解法”即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、总长度)”之比来表示要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征能进行几何度量，掌握
4、几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型自主学习要点导航典例剖析栏目链接要 点导 航自主学习要点导航典例剖析栏目链接3古典概型与几何概型的区别与联系：古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形；几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关；在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域度量成正比，而与该区域的位置与形状无关；对于一个具体问题能否用几何度量计算其概率，关键在于将问题几何要 点导 航自主学习要点导航典例剖析栏
5、目链接化，也可根据问题的情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个区域，且是可度量的要 点导 航二、几何概型的概率计算公式自主学习要点导航典例剖析栏目链接要 点导 航自主学习要点导航典例剖析栏目链接2几何概型求解的一般步骤如下：选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；把基本事件转化为与之对应的区域D；把随机事件A转化为与之对应的区域d；利用概率公式计算情景切入自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析例1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由(1)在某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，
6、在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率每个试验均符合结果无限，但不是每个结果出现等可能分析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接题型一几何概型的判断问题典 例剖 析(1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；(2)是几何概型，因为其具有无限性，等可能性，符合几何概型的特征规律总结：根据几何概型的定义进行判断解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析u 变式训练 1判断下列试验是否为几何概型：(1)在区间10，10中任意抽取一个整数，求这个数为正数的概率；(2)在区间这10，10中任取一个数，求这个数为正数的概率；(3)地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，求乘客到站立即上车
7、的概率；(4)射击运动员任意射击一次，命中8环或8环以上自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析(2)，(3)是几何概型，(1)，(4)不是解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析例2在正方形ABCD的四条边及两条对角线上随机取点M，求点M在两条对角线上的概率自主学习要点导航典例剖析栏目链接题型二几何概型的概率计算分析：解析：本题区域D是四条边及两条对角线，测度为长度典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接规律总结：典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析u 变式训练2如图，在等腰三角形ABC中，BC30，求下列事件的概率自主学习要点导航典例剖析栏目链接(1)
8、在底边BC上任取一点P，使BPAB；(2)在BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BPAB.典 例剖 析解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接例3设点M(x，y)在|x|1，|y|1时按均匀分布出现，试求满足：(1)xy0的概率；(2)xy1的概率；(3)x2y21的概率分析：利用平面直角坐标系化归为平面点集求解典 例剖 析解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接规律总结：根据题意构造几何图形，找出两面积，利用面积比确定几何概型的概率求试验为几何概型的概率，关键
9、是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解典 例剖 析u 变式训练3如右图所示的边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接典 例剖 析例4在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？自主学习要点导航典例剖析栏目链接题型三生活中几何概型典 例剖 析解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接分析：利用面积比求解即可典 例剖 析自主学习要点导航典例剖析栏目链接规律总结：生活中的概率问题很多可转化为几何概型，掌握了转化为何种几何度量是解题关键典 例剖 析u 变式训练4甲、乙两人约定在6时到7时之间于某处会面，且先到者应等待另一人15分钟，过时即可离去，求两人能够见面的概率解析：自主学习要点导航典例剖析栏目链接设甲、乙到达的时间为x，y，记“能见面”为事件A，则
