1、综合法和分析法通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他科学的显著特点.数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法1.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法综合法与分析法综合法与分析法综合法(synthetical methed)：所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法.综合法的可概括为下面形式：PQ1Q2Q3Q1Q2QnQ例1已知a,b0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明：b2+c22bc,a0a(b2+c2)2abc同理,c2+
2、a22ac,b0b(a2+c2)2abc a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc练习1:已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE分析：综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述321EACBDFAD平分BACDECA已知1=22=3已知11=3已知2DE=AE结论例2 在ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列.求证：ABC为等边三角形.ABC练习 如图所示,ABC在平面外,ABP,BCQ,AC=R,求证：P、Q、R三点共线.分析：P、Q、R，P、Q、R平面ABC则P、Q、R是两
3、平面的交线在解决实际问题时，经常要先作语言的变换文字语言图形语言符号语言然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法QP1P2P3P1P2得到一个明显成立的条件分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.例3求证：证明：因为都是正数，所以要证分析：AD平分BACDECA只需证1=22=3只需证1=3只需证DE=AE要证练习1:已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE.321EACBDF练
4、习 2 设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab.求证：s2as2as=(a+b+c)/2b+c3as2=2abbss=(a+b+c)/22b2s=a+b+cba+b1.由于分析法是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的没有分析就没有综合；没有综合也没有分析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时
5、却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它说明分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切1.综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin22.分析法：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：这是三角函数的基本性质综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn.P2 P1P
