1、1珠海市实验中学-东莞市第六高级中学-河源高级中学 2020 届高考联盟第一次联考 理科数学试题 参考答案 一、选择题BADCAABBCB DB 12.解析：将正方体展开如图：不难发现六边形的六边形成一条直线且与BA1平行，显然周长l 是一个定值；对于面积 S,当截面在11BA中点时，截面为正六边形面积为2243 l，当截面在1A 时，截面为正三角形面积为2363 l，故 S 不为定值 二、填空题13.-814.15015.8516.202020202120211S16.【解析】当1n 时，10S，当2n 时，1(1)nnnSan n，11111212()111nnnnnSSSSSnnnnn1
2、1111111111()()1222212nnnnnnSSSSnnn 故202020202120211S三、解答题17 解：（1）53sinA，A 为 锐 角,54cosA，在 ABD 中 由 余 弦 定 理 得：AABADABADBDcos2222 02082 ABAB,得)(210舍去或ABAB，AB=105 分 2CADBSQEFO（2）由（1）可知AADABS ABDsin21=1553510216 分 ABCD四 点 共 圆，CA,54cos,53sinCC，在 BCD 中 由 正 弦 定 理 得：DBCCDCBD sinsin，即DBC sin55353，得55sinDBC8 分
3、552cosDBC)(sin(sinBCDDBCBDC=)sin(BCDDBC=255253552)54(5510 分 BDCCDBDS BCDsin21=325525532111 分 四边形 ABCD 面积18315S12 分 18【解析】（1）证明：连结 AC 交 BD 于点 O，连结 SO 在平行四边形 ABCD 中，AD=CD,ACBD，且O 为 AC、BD 的中点，SBSD，BDSO，OSOAC，且SACSOAC平面,，SACBD平面，SCBDSACSC，平面，AEQFBD平面/，且EFSBDAEQF平面平面EFBD/，SCEF.4 分（2）SACABCDSACBD平面，故平面平面）
4、可知由（1的中点，为且ACOSCSA,ACSO 又ACSACABCD平面平面ABCDSO平面,SAOABCDSA所成角为与平面,.5 分SA 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 23，,32SA且3,3SOAO.6 分3CADBSQEFOxyz1,2OBABAOBRt由勾股定理得：中，在，则：轴建立空间直角坐标系为为坐标原点，分别以如图，以zyxOSOBOAO,，），)3,0,0()0,1,0()0,0,3(0,10()0,0,3(SDCBA的中点，为SCQ)23,0,23(Q)23,0,233()0,2,0(AQBD，则：.7 分)0,0,1(mSBD的一个法向量为易知，平面.8 分，则：因
5、为的法向量为设平面BDEFzyxnAEQF/),(02323302-00zxyAQnBDn，即，)3,0,1(301nAEQFzyx的一个法向量为，故可取平面，则：令.10 分21311,cosnmnmnm.11 分21余弦值为所成锐二面角的与平面平面AEQFSBD.12 分19.解：（1）法一：焦点1,0F，当直线l 斜率不存在时，方程为1x，与抛物线的交点坐标分别为 1,2,1,2，此时=4AB，不符合题意，故直线的斜率存在.1 分设直线l 方程为1yk x与24yx联立得2222220k xkxk，当0k 时，方程只有一根，不符合题意，故0k.212222kxxk，抛物线的准线方程为1x
6、 ，由抛物线的定义得 212222=1128kABAFBFxxk，4解得1k ，4 分 所以l 方程为1yx 或1yx 5 分 法二：焦点1,0F，显然直线l 不平行于 x 轴，设直线l 方程为1xmy，与24yx联立得2440ymy，设 1122,A x yB xy 12124,4yym y y 2 分 22222221212121212=1144 1ABxxyymyymyyy ym由=8AB，解得1m ，4 分 所以l 方程为1yx 或1yx 5 分（2）设 1122,A x yB xy，设直线l 方程为0 xmyb m与24yx联立得2440ymyb 12124,4yym y yb 6
7、分 由AEOBEO 得EAEBkk，即121222yyxx 7 分 整理得1 21122220y xyx yy，即121122220y mybymyb yy 整理得1212220my ybyy，9 分 即8420bmbm，即2b 11 分 故直线l 方程为2xmy过定点2 0，12 分 20.（1）（i）依题意：200 个零件的直径平均值为.由标准差公式得：65 5第一天：，第二天:，则故（注:如果写出不给分）3 分(ii)由（1）可知：，196(33)(58.771.3)0.980.9974200PXPX仅满足一个不等式，判断流水线 M 的等级为合格.6 分（2）可知 200 件零件中合格品
8、 7 个，次品 4 个，的可能取值为 0,1,2，则,，的分布列则.12 分21.解：（1）函数2()2lnf xxax的定义域是(0,)，222(1)()2axfxaxxx，0 x 1 分当0a 时，()0fx，函数()f x 的单调递增区间为(0,)，没有单调递减区间；当0a 时，令()0fx，得axa当(0,)axa时，()0fx，当(,)axa 时，()0fx，2100211(65)100484iiX2100221(65)100400iiX20022111(65)(484400)4.42200200iiX4.42 2.101(2.202)2.102 164()(62.967.1)0.8
9、20.6826200PXPX189(22)(60.869.2)0.9450.9544200PXPX2721121(0)55CPC 117421128(1)55C CPC 242116(2)55CPC 012P2155285565521286801255555511E 6函数()f x 的单调递增区间为(0,)aa，单调递减区间为(,)aa.3 分综上所述，当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)，没有单调递减区间；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)aa，单调递减区间为(,)aa.4 分（2）证明：()f x 有最大值且最大值是1，由（1）知，0a，且max()()
10、ln11af xfaa ，1a ，5 分法一：（二次部分求导，用隐零点求最值问题）设2()()()(1)342lnxh xg xf xxexxx 2(2)(21)1()(2)23(2)(2)(2)xxxxxh xxexxexexxx 6 分又设xexx12)(，则01)(2xexx，所以)(x在),0(上单调递增，因为042)41(41 e，032)31(31 e，所以存在)31,41(0 x，使得0)(0 x，当),0(0 xx时，0)(x，当),(0 xx时，0)(x；所以当),0(0 xx时，0)(xh，)(xh单调递减；当),(0 xx时，0)(xh，)(xh单调递增；02min000
11、00()()(1)342lnxh xh xxexxx 由01200 xe x，得2100 xe x，8 分所以 2000000112342lnh xxxxxx 20000152lnxxxx，)31,41(0 x，9 分设21()52lnxxxxx，)31,41(x，7222222122(1)1(1)(21)()21xxxxxxxxxxx，10 分所以当)31,41(x时，0)(x，)(x在)31,41(单调递减，20011114()532ln22ln3033339h xx ，11 分因此 0h x，即)()(xgxf得证。12 分法二：（放缩法，用隐零点求最值问题）上接1a，2()()(1)3
12、42lnxg xf xxexxx，当0 x 时，易证：1,ln1xexxx，证明如下：()1,0,()10,()(0,),()(0)0 xxp xexxp xep xp xp 设 在上单调递增 1xex.5 分11()ln1,0,()1,(0,1)()0,(1,)()0()(0,1)(0,),()(1)0 xq xxxxq xxxxq xxq xp xp xp 设 当时，当时，在上单调递减，上单调递增 ln1xx.6 分22()()(1)(1)342ln253 2lng xf xxxxxxxxx ，7 分2()253 2lnh xxxx 设，22452()45,0,xxh xxxxx 显然24
13、520 xx有异号两根，设正根为0 x，2004520 xx，9 分0000020000000000000(0,)()0,(,)()0()(0,)(,),()(),52()2532ln532ln2542ln222ln2(1 ln)02xxh xxxh xh xxxh xh xxh xxxxxxxxxxxx 则当时，当时，在上单调递减，上单调递增 11 分()0,()()()0h xg xf xh x,即)()(xgxf得证。12 分822.解：（1）直线l 的极坐标方程为2sin42，即 sin+cos-10.由cosx，siny，可得直线l 的直角坐标方程为10 xy.将曲线C 的参数方程3
14、 cossinxy 消去参数，得曲线C 的普通方程为2231xy.5 分（2）设3cos,Bsin，0 2，.点 A 的极坐标2,4化为直角坐标为 1,1.则3 cos1 sin1,22G.点G 到直线l 的距离3 cos+1sin+1-22=sin(1222)223d.当sin13时，等号成立.点G 到直线l 的距离的最大值为22.10 分23.解：（1）当a=2 时，不等式()f x 1化为|22|1|-10 xx，设函数|22|1|-1yxx，y=3,1+2,1132,1xxxxxx ，易知0y 原不等式解集为空集.5 分（2）当1,0 x，不等式()f x ()g x 恒成立，即|2|1xa恒成立对1,0 x，恒成立对得由1,012121212xxaxaaxax 11aa得 故a 的取值为 1.10 分