1、1/82020 届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案DBDBBCBCCAAB二、填空题132141 或 4152 331668三、解答题（17）（本小题满分 10 分）解：（1）由 sinsinsinsinbBaCaAcC及正弦定理可得222bacac（2 分）由余弦定理可得222221cos222acbbacbBacac（4 分）又因为0,B，所以3B（6 分）（2）因为1133sin2224ABCSacBa（8 分）所以1a .（9 分）又因为1,3acB，所以 ABC是等边三角形，所以3C（12 分）（18）（本小题满分
2、12 分）（1）由频率分布直方图可得：12160.290.1120.80.6826PX（1 分）10180.040.290.11 0.0320.940.9544PX（2 分）8200.0050.040.290.11 0.030.01520.980.9744PX（3 分）由上述可知：符合，不符合，故该生产线需要检修（5 分）（2）由（1）知47220.9450PX2/8所以从该生产线加工的产品中任意抽取一件次品的概率为30.0650且32,50YB，（7 分）所以24722090502500P Y124732821411=505025001250P YC2392502500P Y（10 分）分布
3、列如下Y012P2209250028225009250022092829301225002500250025EY （或332 5025EYnP）（12 分）（19）（本小题满分 12 分）（1）证明：连接 AC 交 BD 于G，则G 是 AC 的中点，连接 EG，（1 分）则 EG 是 PAC的中位线，所以/PAEG，（2 分）有因为,PAEDB EGEDB面面，所以/PA平面 EDB（4 分）（2）法一：如图以 D 为原点，,DA DC DP 方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系。设 DAa，则,0,0A a，,1,0B a，0,1,0C，0,0,1P，1 10,2 2
4、E，,1,1PBa，设=,PFtPBat tt，则,1F at tt，1 1,2 2EFat tt3/8又 EFPB，即=0EF PB，解得212ta（6 分）设,nx y z是平面 DEF 的一个法向量，则00n DEn DF 即02210yzatxtyt z，方程的一组解为2111txatyz （8 分）显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有211cos 32211 1DP nDP ntat ，得221=2tat，结合式得2a（10 分）因为 PD 底面 ABCD，所以PAD是 PA 与面 ABCD 所成的角，3sin3PDPADPA（12 分）（2）法二：如图以 D 为原点，,
5、DA DC DP 方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系。设 DAa，则,0,0A a，,1,0B a，0,1,0C，0,0,1P，1 10,2 2E，,1,1PBa，因为0PB DE ，所以 PBDE，（6 分）又因为 EFPB，EFDEE，所以 PB 面 DEF，所以 PB是平面 DEF 的一个法向量，（8 分）显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有211cos 321 1DP PBDP PBa ，解得2a（10 分）因为 PD 底面 ABCD，所以PAD是 PA 与面 ABCD 所成的角，3sin3PDPADPA（12 分）4/8（2）法三：因为 PD 面
6、ABCD，BCABCD 面，所以 PDBC，又,BCCD CDPDD，所以 BCPCD 面，又 DEPCD 面，所以 DEBC因为 PDCD，E 是 PC 的中点，所以 DEPC，（6 分）所以 DEPBC 面，所以 DEPB又因为 EFPB，EFDEE，所以 PB 面 DEF，所以 PB是平面 DEF 的一个法向量，（8 分）显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有211cos 321 1DP PBDP PBa ，解得2a（10 分）因为 PD 底面 ABCD，所以PAD是 PA 与面 ABCD 所成的角，3sin3PDPADPA（12 分）（20）（本小题满分 12 分）解：（1）
7、依题意可得22,2cba，所以2222222212cabaaaa，得2a，所以椭圆的方程是22142xy（3 分）（2）法一：设11,A x y，,DDD xy，则 11,Bxy，1,0E x，直线 BE 的方程为1112yyxxx，（4 分）与22142xy联立得222211121114022yyyxxxx，（6 分）因为Dx，1x是方程的两个解，所以212211122211121482212Dyyxxxxyyx（7 分）又因为2211142xy，5/8所以21121838Dyxxy，代入直线方程得312138Dyyy（9 分）3112211122111112138241838ABADyyy
8、yykkyxxxxy（11 分）所以 ABAD，即 ABD是直角三角形.（12 分）（2）法二：设11,B x y，22,D xy，则 11,Axy，1,0Ex设直线 BD 的方程为 ykxm，（4 分）与22142xy联立得 222124240kxkmxm（6 分）12241 2kmxxk （7 分）2121212112212ADkxmkxmyymkkxxxxxxk（9 分）112BEykkx，11=2ABykkx，（10 分）所以=1ABADkk（11 分）所以 ABAD，即 ABD是直角三角形.（12 分）（2）法三：设11,B x y，22,D xy，则 11,Axy，1,0Ex设11
9、=2BDBEykkkx，则11=2ABykkx（5 分）2221212122212121ADBDyyyyyykkxxxxxx因为11,B x y，22,D xy在椭圆上，满足椭圆方程，所以 22222121222221211=24242ADBDyyyykkxxyy（9 分）所以1=2ADkk，（10 分）6/8所以=1ABADkk（11 分）所以 ABAD，即 ABD是直角三角形.（12 分）（21）（本小题满分 12 分）解：（1）2211222axaxafxxaxx（1 分）令 21g xxaxa当2410aa 时，即 22 222 2a时，0g x 恒成立，所以 f x 的单调增区间是0
10、,，无减区间.（2 分）当2410aa 时，即22 2a 或22 2a，设 g x 的两个零点为2144=2aaax，2244=2aaax若22 2a，因为12120,10 xxax xa，所以12,x x 都大于 0，所以当10,xx时 0g x，f x 单调递增当12,xx x时 0g x，f x 单调递减当2,xx 时 0g x，f x 单调递增（3 分）若22 2a，120 xxa，当1210 x xa 即 122 2a 时，12,x x 都不为正数，所以当0,x 时 0g x，f x 单调递增.（4 分）当1210 x xa 时，即1a 时，120 xx，所以当20,xx时 0g x
11、，f x 单调递减当2,xx 时 0g x，f x 单调递增.（5 分）综上所述，当1a 时，f x 的单调递减区间为2440,2aaa，f x 的单调递增区间为244,2aaa，7/8当 122 2a 时，f x 的单调增区间是0,，无减区间.当22 2a 时，f x 的单调递减区间为224444,22aaaaaa f x 的单调递增区间为2440,2aaa，244,2aaa（6 分）（2）不妨设210 xx，要证明 12122f xf xxx，只需证明 121222f xf xxx，只需证明 112222f xxf xx令 222121 lnh xf xxxaxax（8 分）2112214
12、2121 21aahxxaxaaaxx因为 13a，所以 012a，0hx（11 分）h x 在0,是增函数，所以210 xx时 21h xh x，即 112222f xxf xx（12 分）（22）（本小题满分 10 分）解：（1）当2a时，l 的普通方程为1x；（1 分）当2a时，l 的普通方程为2tan1yx，即tan2tan0 xy（或者直接得出sincossin2cos0 xy）（3 分）由241 3cos得2222223cos316xyx即221416xy（5 分）（2）将1cos,2sin,xtyt 代入221416xy整理得221 3cos8cos4sin80tt（7 分）8/8依题意得 120tt，即28cos4sin01 3cos，即8cos4sin=0（9 分）得 tan2 直线l 的斜率为 2（10 分）（23）（本小题满分 10 分）解：（1）原不等式等价于113xx，当1x 时，可得113xx ，得32x；（1 分）当 11x 时，可得113xx ，得 23不成立；（2 分）当1x 时，可得113xx ，得32x ；（3 分）综上所述，原不等式的解集为33|22x xx 或（5 分）（2）111()|f xxaxaaaaa（7 分）当且仅当10 xaxa时等号成立（8 分）又1122aaaa，当且仅当1a 的时等号成立所以 2f x（10 分）