1、巩固层知识整合提升层题型探究求函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y的定义域；(2)若定义运算ab则函数f(x)(x2)x2的值域为_解(1)解不等式组得故函数的定义域是x|1x5且x3(2)法一：令x2x2，得x1或x2，令x2x2，得1x2.故f(x)当x1或x2时，f(x)1当1x2时，1f(x)4.(1，)1，41，)，函数f(x)的值域为1，).法二：由新定义知f(x)的图像如图，由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值故f(x)的值域为1，).求函数的定义域和值域是考试中常见的题型求函数的定义域时，注意将自变量x要满足的条件一一列出，不要遗漏；函数的值域就是所有函数值的集合，它由
2、函数的定义域和函数的对应关系确定，所以不论用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法、判别式法等求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法1函数y的定义域是_1，7要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，得(x1)(x7)0，解得1x7，故所求函数的定义域为1，7.求函数的解析式【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)1，则f(x)的解析式为_；(2)已知f，则f(x)的解析式为_(1)f(x)(2)f(x)x2x1，x(，1)(1，)(1)设x0，f(x)1.f(x)是奇函
3、数，f(x)f(x)，即f(x)1，f(x)1.f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)(2)令t1，则t1.把x代入f，得f(t)(t1)21(t1)t2t1.所以所求函数的解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，).求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法(3)含f(x)与f(x)或f(x)与f，使用解方程组法(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法2(1)已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)_(2)二次函数f(x)ax2bxc(a，b
4、R，a0)满足条件：当xR时，f(x)的图像关于直线x1对称；f(1)1；f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式(1)x因为f(x)3f(x)2x1，以x代替x得f(x)3f(x)2x1，两式联立得f(x)x.(2)解因为f(x)的对称轴为x1，所以1，即b2a，又f(1)1，即abc1，由条件知：a0，且0，即b24ac，由以上可求得a，b，c，所以f(x)x2x.函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数思路点拨(1)用f(0)0及f求a，b的值；(2)用单调性的定义
5、求解解(1)由题意，得故f(x).(2)证明：任取1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，x1x20，1x0.又1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x)在(1，1)上是增函数1在本例条件不变的情况下解不等式：f(t1)f(t)0.解由f(t1)f(t)0得f(t1)f(t)f(t).f(x)在(1，1)上是增函数，1t1t1，0t，不等式的解集为.2把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式解由题意可知，f(x)f(x)，即，a0，又f，b，f(x).巧用奇偶性及单调性解不等式(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式(2)
6、根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解函数的应用【例4】某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).(注：图中MNCD)(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？思路点拨两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题解(1)由题图可知M(60，98)，N(500，230)，C(50
7、0，168)，MNCD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)fB(x)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元(2)因为fB(n1)fB(n)(n1)18n180.3(n500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元(3)由题图可知，当0x60时，有fA(x)500时，fA(x)fB(x).当60x500时，168x80，解得x.当60xfA(x)；当x500时，fA(x)fB(x).即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠1对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解
8、决问题，最后再转化成具体问题，作出解答2对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键3某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%(0x100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)(单位：分)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义解(1)由题意知，当30x100时，f(x)2x9
9、040，即x265x9000，解得x45，当x(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间(2)当0x30时，g(x)30x%40(1x%)40；当30x100时，g(x)x%40(1x%)x58.g(x)易知当0x32.5时，g(x)单调递减；当32.5x100时，g(x)单调递增说明该地上班族S中有少于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递减的；有多于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递增的当自驾人数占32.5%时，人均通勤时间最少培优层素养升华【典例】如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|成立，那么就称函数
10、f(x)是定义域上的“平缓函数”(1)判断函数f(x)x2x，x0，1是不是“平缓函数”；(2)若函数f(x)是区间0，1上的“平缓函数”，且f(0)f(1)，证明：对于任意的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|成立(注：可参考绝对值的基本性质：|ab|a|b|，|ab|a|b|)解(1)对于任意的x1，x20，1，有1x1x211，即|x1x21|1.从而|f(x1)f(x2)|(xx1)(xx2)|x1x2|x1x21|x1x2|.所以函数f(x)x2x，x0，1是“平缓函数”(2)证明：当|x1x2|时，由已知，得|f(x1)f(x2)|x1x2|；当|x1x2|时，因为x1，
11、x20，1，不妨设0x1x21，所以x2x1.因为f(0)f(1)，所以|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|f(1)f(x2)|x10|1x2|x1x211.所以对任意的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|成立1数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征2本题的求解关键是理解“平缓函数”的定义本题考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养给出定义：若a，b为常数，g(x)满足g(ax)g(
12、ax)2b，则称函数yg(x)的图像关于点(a，b)成中心对称已知函数f(x)，定义域为A.(1)判断yf(x)的图像是否关于点(a，1)成中心对称；(2)当xa2，a1时，求证：f(x)；(3)对于给定的x1A，设计构造过程：x2f(x1)，x3f(x2)，xn1f(xn)，.如果xiA(i2，3，4，)，构造过程将继续下去；如果xiA(i2，3，4，)，构造过程将停止若对任意x1A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值解(1)因为f(x)1，所以f(ax)f(ax)2.由定义可知，yf(x)的图像关于点(a，1)成中心对称(2)证明：任取x1，x2(，a)，且x1x2，则f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，a)上是增函数故f(x)在a2，a1)上是增函数，所以当xa2，a1时，f(x)f(a2)，f(a1)，即f(x).(3)因为构造过程都可以无限进行下去，所以f(x)a对任意xA恒成立即方程a无解，即方程(a1)xa2a1无解或有唯一解xa.所以或解得a1.