1、必考问题4三角函数与三角变换【真题体验】1(2012江苏改编)已知cos，则sin_.解析sincos.答案2(2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析由条件可得cos2ccs21，sin，所以sinsin.答案3(2011江苏)函数f(x)Asin(x)，(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)_.解析因为由图象可知振幅A，所以周期T，解得2，将代入，解得一个符合的，从而ysin，f(0).答案4(2012南通、泰州、扬州调研)已知角的终边经过点P(1，2)，函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f_.解析由图象的相邻两条对称轴之间的
2、距离等于，得T3，又角的终边经过点P(1，2)，所以sin ，cos ，所以f(x)sin(3x)fsin.答案5(2010江苏)定义在区间上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_解析线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x5tan x，整理得6sin2x5sin x60，解得sin x.线段P1P2的长为.答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数yAsin(x)的图象与性质是A级要求；(2)两角和(差)的正
3、弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题【应对策略】三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合必备知识1三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数
4、的定义、定义域、符号法则、弧度制等；2同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2cos21，商数关系：tan .根据同角三角函数的基本关系，如果已知角的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角所在的象限或范围确定3诱导公式揭示的是k(kZ)与的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”4正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握；5熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式asin bcos sin()，降幂公式cos2，sin
5、2等必备方法1解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：(1)认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型；(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型2三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知识求解3三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()等命题角度一三角变换与求值命
6、题要点 给角求值；给值求值；给值求角【例1】 (2011江苏)已知tan2，则的值为_审题视点 听课记录审题视点 由已知条件先确定tan x的值，再化简待求式，然后代入求得解析由tan2，得2，解得tan x，所以.答案 给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角；给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系；给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调【突破训练1】 (2012江西改编)若tan 4，则sin 2_.解析已知某
7、个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的tan 4，4tan 1tan2，sin 22sin cos .答案命题角度二三角函数的图象与性质命题要点 已知函数图象求函数解析式；三角函数性质的简单应用【例2】 函数yAsin(x)的一段图象(如图所示)，求其解析式审题视点 听课记录审题视点 先由图象求出函数的周期，从而求得的值，再由关键点求，最后将(0，)代入求A的值解设函数的周期为T，则T，T，2.又22k(kZ)，2k(kZ)，又|，.函数解析式为yAsin.又图象过点(0，)，Asin，A，A2.所求函数的解析式为y2sin. (1)已
8、知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；由图象上的关键点确定.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期【突破训练2】 已知函数yAsin(x)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，所以12sin(0)，即sin ，因为|，所以.又因为是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以2，所以2.故f(x)2sin.(
9、2)设2xB，则函数y2sin B的对称轴方程为Bk，kZ，即2xk(kZ)，解上式得x(kZ)，所以f(x)2sin的对称轴方程为x(kZ)命题角度三三角函数的图象和性质的综合应用命题要点 三角函数的值域；三角函数的最小正周期；三角函数的单调区间；三角函数的对称性【例3】 (2012南京、盐城模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的函数值的取值范围审题视点 听课记录审题视点 将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域解(1)因为f(x)sin 2xcos 2xsin，故f(x)的最小正
10、周期为.(2)当x时，2x，故所求的值域为. 求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围【突破训练3】 (2012苏州期中)已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2x
11、sin.T.(2)x，2xsinmax1，sinmin即f(x)sin的值域为.4解决三角函数需注意的两个问题一、要充分挖掘题中隐含条件【例1】 在ABC中，如果4sin A2cos B1,2sin B4cos A3，则C的大小是_解析两式平方相加并化简得sin(AB)，所以sin C，得C或，检验：当C时，AB，则A，B，sin A，cos B，4sin A2cos B(，4)与4sin A2cos B1矛盾，所以C舍去，即C.答案老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化简得sin(AB)，所以sin C，得C或，产生了增根.二、给值求角时要注意缩小所求角的范围【例2】 若tan()，tan ，且，(0，)，则2的值为_解析由上面解得tan ，(0，)，所以的范围可以缩小为，同理，由tan 以及(0，)，的范围可以缩小为，所以2(，0)，又tan(2)1，所以2的值为.答案老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2，得2的值为或 或，这种错误主要是没有对2的范围进行缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )