1、四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 文注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则 ABCD2设，则 A2B3CD3若，则的值为 ABCD41614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；
2、1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，则的值约为 A1.322 B1.410 C1.507 D1.6695已知函数+1，若，则的值为 A0BC2D6在中，为的重心，则的值为A1BCD27 函数的图象大致为 A B CD8在中，若，那么一定是 A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形9已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为 A2BCD310已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是 A
3、BCD11已知正四棱锥的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为 ABCD12已知函数有两个极值点，若不等式恒成立，那么的取值范围是 ABCD第II卷 非选择题（90分）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为，则_.14用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_。15已知函数，若，则实数的取值范围是_16已知函，用maxm，n表示m，n中的最大值，设若在上恒成立，则实数a的取值范围为_三解答题：共70
4、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）在锐角中，内角、所对的边分别为、，且直线为函数图象的一条对称轴（1）求；（2）若恒成立，求实数的最小值18（12分）某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元（1） 对湿地公园，请在中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；（2） 从建设开始的
5、第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由参考数据及公式：，；当时，回归方程中的；回归方程斜率与截距，19（12分）如图，在中，分别为，的中点是由绕直线旋转得到，连结，.（1）证明：平面；（2）若，棱上是否存在一点，使得？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.20（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）若不过坐标原点的直线与椭圆相交于、两点，且满足，求面积最大时直线的方程21（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数a，使方程有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说
6、明理由.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，已知曲线C1：2cos和曲线C2：cos3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值23选修4-5：不等式选讲（10分）已知均为实数，且 .（1）求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.2020年秋四川省叙州区第一中学高三第一学月考试文科数学参考答案1B2D3C4A5A6A7
7、D8B9B10A11A12D13771440151617（1）由，得，则，所以，又，因此，当时，（2）由正弦定理得，记，当时，即最小值为218（1）根据散点图，应该选择模型，令，则，故所求回归方程是即；（2）由题意，物流城第10年的年经济净效益为（亿元）；湿地公园第10年的投入约为（亿元），该年的经济净效益为（亿元）；因为，所以该年湿地公园产生的年经济净效益高19（1）依题意得，所以因为分别为，的中点，所以因为所以又因为由沿旋转得到，所以，平面，平面则平面所以，即，所以平面解法一：（2）若，则因为且所以，又所以为的中点解法二：（2）因为，所以，又，所以由（1）知平面若，则，所以由（1）知，在中
8、，即解得；所以为正三角形，即，所以M为的中点20(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由题意可知,直线的斜率显然存在,设直线的方程为,由得,所以,所以,因为,所以,所以,代入得且,所以,当且仅当,即时上式取等号,此时符合题意,所以直线的方程为.21解：（1）由题意知的定义域为，.当时，所以函数在上单调递减，此时函数无极值当时，令，得.当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增.此时，函数有极小值，为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.（2）假设存在实数a，使得方程有两个不同的实数根，即函数有两个不同的零点.当时，由（1）知函数在上单调递减，所以
9、方程不存在两个不同的实数根.当时，.因为，所以由（1）知.，令，则，所以在上单调递减，所以，所以.此时，函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点.当时，此时函数仅有一个零点.当时，因为，所以由（1）知.令函数，则，当时，单调递增，所以当时，所以，则.又，所以函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点综上所述，当时，函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根22PQOP，PQ过点A(2，0)，设直线PQ的参数方程为 (t为参数)，代入C1可得t22tcos 0，解得t10，t22cos ，可知|AP|t2|2cos |.代入C2可得2tcos 3，解得t，可知|AQ|t|，|PQ|AP|AQ|2cos |，当且仅当|2cos | 时取等号，线段PQ长度的最小值为23解：（）因为所以，当且仅当，即，或时取等号，即的最小值为（）由（）知对任意的恒成立，或，或 ，或所以实数的取值范围为