1、模块提升作业 一、正、余弦定理及其应用1正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 内容(1)asin A bsin B csin C2R(2)a2b2c22bc cos A；b2c2a22ca cos B；c2a2b22ab cos C变形(3)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(4)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)a sin Bb sin A，b sin Cc sin B，a sin Cc sin A(7
2、)cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况A 的大小A 为锐角A 为钝角或直角图形 关系式ab sin Ab sin Aababab 解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示边 a 上的高)；(2)S12ab sin C12ac sin B12bc sin A；(3)S12r(abc)(r 为三角形内切圆半径).二、等差数列及其前 n 项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个
3、常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d3等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，
4、(k，mN*)是公差为 md 的等差数列(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snn（a1an）2或 Snna1n（n1）2d6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最大值；若 a10，d0，则 Sn 存在最小值三、等比数列及其前 n 项和1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，
5、这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0).2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，GabG，G2ab，G ab，称 G 为 a，b 的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*).(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列5等比数列的前 n
6、项和公式等比数列an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1（1qn）1qa1anq1q.6等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为 qn四、数列求和的常用方法1公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和2分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式(1)1n（n1）1n 1n1；(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1；(3)1n n1 n1 n.4倒序相加
7、法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和6并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解五、不等关系与不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0ab，ab0ab，ab0ab.(a，bR)(2)作商法ab1ab，ab1ab，ab1ab.(aR，b0)2不等式的基本性质(1)对称性：abba(2)传递性：ab，bcac(3)可加性：abacbc(4)可乘性：abc0 acbcabc0 acbc.(5)同向可加性：abcd
8、acbd(6)同向可乘性：ab0cd0 acbd(7)可乘方性：ab0anbn(nN，n1).(8)可开方性：ab0n an b(nN，n2).3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab01a1b.a0b1a1b.ab0，0cdacbd.0axb 或 axb01b1x1a.(2)有关分数的性质若 ab0，m0，则babmam；babmam(bm0).abambm；abambm(bm0).六、一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式b24ac000 二次函数 yax2bxc(a0)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两相异实根 x1，x2(x1x2)有两相等实根 x1x
9、2 b2a没有实数根一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集x|xx1 或 xx2xx b2ax|xR一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.常用结论(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式的解法不等式解集 ababab(xa)(xb)0 x|xa 或 xbx|xax|xb或 xa(xa)(xb)0 x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间3常见分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0).(2)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式七、二元一次不等式
10、(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C的符号即可断定 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义 约束
11、条件由变量 x，y 组成的一次不等式 线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题八、基本不等式及其应用1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)baab2(a，b 同号).(3)abab22(a，bR).(4)a2b22ab22
12、(a，bR).以上不等式等号成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值p24(简记：和定积最大)1在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB.()2当 b2c2a20 时，三角形 ABC 为锐角三角形()3在ABC 中，asin Aabcsin
13、Asin Bsin C.()4在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()5若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()6等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()7数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.()8已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列()9满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()10G 为 a，b 的等比中项G2ab.()11如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()12数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sn
14、a（1an）1a.()13若ab1，则 ab.()14一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()15ab0，cd0adbc.()16若 ab0，则 ab1a1b.()17若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，),则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2.()18若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.()19不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()20若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集一定不是空集()21点(x1，y1)，(x2，y2
15、)在直线 AxByC0 同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()22第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy0 表示()23线性目标函数的最优解是唯一的()24最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()25函数 yx1x的最小值是 2.()26函数 f(x)cos x 4cos x，x0，2 的最小值等于 4.()27“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件()28若 a0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.()29不等式 a2b22ab 与ab2 ab有相同的成立条件()30两个正数的等差中项不小
16、于它们的等比中项()1ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin Ab sin B4c sin C，cos A14，则bc()A6 B5C4 D3A a sin Ab sin B4c sin C，由正弦定理得 a2b24c2，即 a24c2b2.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcb2c2（4c2b2）2bc3c22bc 14，bc6.故选 A.2记 Sn 为等差数列an的前 n 项和已知 S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28nDSn12n22nA 法一：设等差数列an的公差为 d，S40，a55，4a1432 d0，a14d5，解
17、得a13，d2，ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1n（n1）2dn24n.故选 A.法二：设等差数列an的公差为 d，S40，a55，4a1432 d0，a14d5，解得a13，d2.选项 A，a12153；选项 B，a131107，排除 B；选项 C，S1286，排除 C；选项 D，S112232，排除 D.故选 A.3ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A2 B3 C4 D6C 因为 SABC12ab sin C，所以a2b2c2412ab sin C由余弦定理 a2b2c22ab cos C，得 2ab cos
18、C2ab sin C，即 cos Csin C，所以在ABC 中，C4.故选 C.4在ABC 中，cos C2 55，BC1，AC5，则 AB()A4 2B 30C 29D2 5A 因为 cos C2 55，所以 cos C2cos2C212(55)2135.于是，在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212251(35)32，所以 AB4 2.故选 A.5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b sin Aa cos B0，则 B34 b sin Aa cos B0，asin Abcos B.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1
19、.又 B(0，)，B34.6记 Sn 为等差数列an的前 n 项和若 a35，a713，则 S10100 an为等差数列，a35，a713，公差 da7a373 13542，首项 a1a32d5221，S1010a11092d100.7若 x，y 满足约束条件x2y50，x2y30，x50，则 zxy 的最大值为9 法一：画出可行域如图中阴影部分所示目标函数 zxy 可化为 yxz，作出直线 yx，并平移，当平移后的直线经过点 B 时，z 取得最大值联立，得x2y30，x50，解得x5，y4，所以 B(5，4)，故 zmax549.法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三
20、个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数 zxy 可求得 z 的值是 3，9，5，故 zmax9.8ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b sin Cc sin B4a sin B sin C，b2c2a28，则ABC 的面积为2 33 由 b sin Cc sin B4a sin B sin C 得 sin B sin Csin C sin B4sin A sin Bsin C，因为 sin B sin C0，所以 sin A12.因为 b2c2a28，cos Ab2c2a22bc，所以 bc8 33，所以 SABC12bc sin A1
21、28 33 122 33.9已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnann.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得 an12（n1）nan.将 n1 代入得，a24a1，而 a11，所以，a24.将 n2 代入得，a33a2，所以，a312.从而 b11，b22，b34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得an1n12ann，即 bn12bn，又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得ann 2n1，所以 ann2n1.10等比数列an中，a11，a
22、54a3.(1)求an的通项公式；(2)记 Sn 为an的前 n 项和若 Sm63，求 m.解(1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1.由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2.故 an(2)n1 或 an2n1.(2)若 an(2)n1，则 Sn1（2）n3.由 Sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解若 an2n1，则 Sn2n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.综上，m6.11ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin AC2b sin A.(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围解(1
23、)由题设及正弦定理得sin A sin AC2sin B sin A.因为 sin A0，所以 sin AC2sin B.由 ABC180，可得 sin AC2cos B2，故 cos B22sin B2cos B2.因为 cos B20，故 sin B212，因此 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 34 a.由正弦定理得 ac sin Asin C sin（120C）sin C32tan C12.由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知 AC120，所以 30C0 知 d0，故 Snan 等价于 n211n100，解得 1n10，所以 n 的取值范围是n|1n10，nN