1、2.2不等式2.2.1不等式及其性质素养目标定方向课程标准学法解读理解不等式的概念，掌握不等式的性质.在不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异.必备知识探新知基础知识1不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于(2)不等式的定义：含有_不等号_的式子思考1：不等式“ab”的含义是什么？只有当“ab”与“ab”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者ab或者ab”，等价于“a不大于b”，即若a0，那么_ab_如果ab0，那么_ab
2、acbc性质2_ab，c0acbc_性质3_ab，c0acb，bcac性质5abbcacb_推论2ab，cdacbd推论3_ab0，cd0acbd_推论4_ab0anbn(nN，n1)_推论5ab0思考3：利用不等式性质应注意哪些问题？提示：在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意基础自测1已知1aa3aBaa2a3Ca3aa2Da2aa3解析：1a0,0a0，a2(a3)a2(1a)0，aa2a3.故选B2给出下列不等式：a222a；a2b22(ab1)；a2b
3、2ab.其中恒成立的个数是(D)A0B1C2D3解析：对，a22a2(a1)210；对，a2b22a2b2(a1)2(b1)20；对，a2b2ab(a)2b20.3设a，b，cR，且ab，则下列不等关系正确的是_(1)(4)_(填序号)(1)a1b3；(2)acbc；(3)a2b2；(4)ab0.4已知ab0，bbba_.5当m1时，m3与m2m1的大小关系为_m3m2m1_.解析：m3(m2m1)m3m2m1m2(m1)(m1)(m1)(m21)又m1，故(m1)(m21)0.关键能力攻重难类型作差法比较大小典例剖析_典例1比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x23与2x；(2)已知a，b
4、为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定解析：(1)(x23)2xx22x3(x1)2220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.归纳提升：比较两个代数式大小的步骤：(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差(2)变形：对差进行变形(3)判断差的符号：结合变形
5、的结果及题设条件判断差的符号(4)作出结论这种比较大小的方法称为作差法其思维过程是作差变形判断符号作出结论对点训练_1已知x，yR，P2x2xy1，Q2x，试比较P，Q的大小解析：因为PQ2x2xy1(2x)x2xyx22x1(x)2(x1)20，所以PQ.类型利用不等式的性质求范围典例剖析_典例2(1)已知6a8,2b3，则2ab的取值范围是_(10,19)_，ab的取值范围是_(9,6)_.(2)已知函数f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围思路探究：(1)求ab的取值范围时，应先求出b的范围，再利用不等式的性质求解(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.解析
6、：(1)6a8，122a16，102ab19，2b3，3b2，9ab6.(2)由得则f(3)9acf(2)f(1)1f(2)5，f(2).4f(1)1，f(1).f(2)f(1)，即1f(3)20.归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答(2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件(3)结合不等式的传递性进行求解对点训练_2在本例2(1)条件下，求ab和的取值范围解析：因为6a8,2b3，所以当0a8时，0ab24，当6a0时，0a6，所以0ab18，所以18ab0，综上可知18ab24.因为6a8,2b3，所以.当0a8时，04；当6a0时，
7、0a6，故03，所以30，综上可知，3b0，cd0，e.思路探究：要证明，由于e0，所以只需证明bd，从已知条件可以得到这个不等式，因此本题可证解析：cdd0.又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0.又e.2利用比较法证明不等式典例4设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.思路探究：要证明3a32b33a2b2ab2，即证3a32b3(3a2b2ab2)0即可解析：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab0，所以ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.归纳提升：1.简单不等式的证
8、明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证2对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明对点训练_3设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：若abcd，则.解析：由题设知abcd0，则.又abcd.则()2()2(ab2)(cd2)2()0，即()2()2，而0，0，故.易混易错警示忽略不等式性质成立的条件致错典例剖析_典例5给出下列命题：若ab，c0，则bc3，则ab；若ab且kN，则akbk；若cab0，则.其中正确命题的序号是_.错因探究
9、：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如中易因没有考虑ab0的情况，直接由a，从而判断正确；中易忽视a与b的符号，默认a，b同为正，即推出akbk，造成错误解析：当ab不成立，故不正确；当c0时，c3bc3的两边同时乘以c3，得ab0ab00cacb，同乘以，得0b0，故正确误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况学科核心素养用不等式(组)表示不等关系典例剖析_构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式注意不等式与不等关
10、系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的范围典例6糖水在日常生活中经常见到，下列关于糖水浓度的问题，能提炼一个怎样的不等式呢？(1)向一杯糖水里加点糖(假设糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡思路探究：糖水变浓、变淡与浓度有关，所提炼的不等式即为浓度的大小比较解析：(1)设糖水为b克，含糖a(ba)克，则糖水的浓度为，加入m克糖后糖水的浓度为.提炼出的不等式：若ba0，m0，则a1)克，则糖水的浓度为；浓糖水为b2克，含糖a2(b2a2)克，则糖水的浓度为.故混合后的糖水浓度为.提炼出的不等式：若b1a10
11、，b2a20，且，则.归纳提升：用不等式表示不等关系的步骤：(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接特别需要考虑的是“”“”中的“”能否取到课堂检测固双基1下列说法正确的是(C)A某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy”C某变量x至少是a可表示为“xa”D某变量y不超过a可表示为“ya”解析：对于A，x应满足x2 000，故A错；对于B，x，y应满足xb，cb，则acB若ab，则cab，cD若a2b2，则ab0，c0b0时才可以否则如a1，b0时不成立3若“x21”是“x1得x1或x1”是“xa”的必要不充分条件，则x|x1或x，xy，求证：.解析：a，b，x，y都是正数，且，xy，故11，即0.
