1、第2课时集合的表示方法必备知识探新知基础知识1列举法把集合中的元素_一一列举_出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N可表示为1,2,3,4,5,6，2描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为_x|p(x)_.(3)集合_x|p(x)_中所有在另一个集合I中的元素
2、组成的集合，可以表示为xI|p(x)思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式a1，a2，a3，anxI|p(x)适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括3区间及其表示(1)一般_区间_的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xax|x0B(x，y)|xy0C(x，y)|x0且y0D(x，y)|x0或y0解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为(x，y)|x0且y03能被2整除的正整数
3、组成的集合，用描述法可表示为_x|x2n，nN*_.4下列集合：1,2,2；R全体实数；3,5；不等式x50的解集为x50其中，集合表示方法正确的是_(填序号)5(1)x|1x2)可用区间表示为_1,2_；(2)x|12可用区间表示为_(2，)_；(4)x|x2可用区间表示为_(，2_.关键能力攻重难类型用列举法表示集合典例剖析_典例1用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0的根构成的集合；(3)一次函数yx1与yx的图像的交点构成的集合思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式解析：(1)36与60的公约数有1
4、,2,3,4,6,12，所求集合可表示为1,2,3,4,6,12(2)方程(x4)2(x2)0的根是4,2，所求集合可表示为2,4(3)方程yx1与yx可分别化为xy1与2x3y4，则方程组的解是所求集合可表示为(，)归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次(3)用花括号括起来2在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么如本题(4)是点集，而非数集集合的所有元素用有序数对表示，并用“”括起来，元素间用分隔号“，”(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，1,1,2为错误表示又如集合1
5、,2,3,4与2,1,4,3表示同一集合对点训练_1用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合(2)式子(a0，b0)的所有值组成的集合解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为3,5,7(2)因为a0，b0，所以a与b可能同号也可能异号，所以当a0，b0时，2；当a0，b0，b0或a0时，0.故所有的值组成的集合为2,0,2类型用描述法表示集合典例剖析_典例2用描述法表示以下集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；(3)使y有意义的实数x组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合
6、；(5)方程x25x60的解组成的集合思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“xN”等条件解析：(1)集合可表示为xR|2x20(2)第二象限内的点(x，y)满足x0，故集合可表示为(x，y)|x0(3)要使该式有意义，需有解得x2，且x0.故此集合可表示为x|x2，且x0(4)x|x2k1，x0；所有奇数组成的集合为x|x2n1；集合(x，y)|y1x与x|y1x是同一集合其中正确的有(A)A1个B2个C3个D4个解析：正确；不正确，应为x|x2n1，nZ；不正确，(x，y)|y1x表示的是点集，而x|y1x表示的为数集类型集合与方程
7、的综合问题典例剖析_典例3(1)若集合AxR|ax22x10，aR中只有一个元素，则a(D)A1B2C0D0或1(2)设x|x2ax0，则集合xx2xa0中所有元素之积为_.思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax22x10只有一根；(2)先求出a的值，再求元素之积解析：(1)当a0时，原方程变为2x10，此时x，符合题意；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，44a0，即a1，原方程的解为x1，符合题意故当a0或a1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素(2)因为x|x2ax0所以()2a0，解得a，当a时，方程x2x0的判别式()240，由x2x0，解得x1，x29，所以x|
8、x2x0，9，故集合x|x2x0的所有元素的积为9.归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题如对于方程ax2bxc0，当a0，b0时，方程有一个解；当a0时，若0，则方程有两个相等的实数根；若0，则方程有两个不等的实数根(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用对点训练_3(1)已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值(2)若本例(1)中“只有一个元素”
9、变为“至少有一个元素”，求a的取值范围解析：(1)由A2,3知，方程x2axb0的两根为2,3，解得因此a5，b6.(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素由例题解析可知，当a0或a1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，44a0，即a1且a0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(，1易混易错警示对集合中的代表元素认识不到位典例剖析_典例4用列举法表示下列集合：(1)Ay|yx26，xN，yN；(2)B(x，y)|yx26，xN，yN；(3)C方程组的解错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y，习惯认为是x，误认为A0,1,2(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，
10、导致错误答案B0,6,1,5,2(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C1,2解析：(1)因为yx266，且xN，yN，所以当x0,1,2时，y6,5,2，符合题意，所以用列举法表示为A2,5,6(2)(x，y)满足条件yx26，xN，yN，则有满足条件，所以用列举法表示为B(0,6)，(1,5)，(2,2)(3)方程组的解是有序实数对，其解的集合可以表示为，用列举法表示为(1,2)误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么学科核心素养
11、集合中的“新定义”问题典例剖析_“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解典例5定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A1,2，B0,2，则集合A*B中所有元素之和为(D)A0B2C3D6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的
12、元素，需弄清A*B的含义解析：A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可100,122,200,224，A*B0,2,4，所有元素之和为0246.规律方法：(1)理解新定义例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的(2)运用新定义例如，本例给出具体的A、B，求A*B.(3)不要被新符号迷惑例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“”“”“”“”一样，用符号表示运算法则课堂检测固双基1下列集合中，不同于另外三个集合的是(C)Ax|x2 019By|(y2 019)20Cx2 019D2 019解析：选项A，B，D中都
13、只有一个元素“2019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x2 019，而不是实数2 019，故此集合与其他三个集合不同2由大于3且小于11的偶数所组成的集合是(D)Ax|3x11，xQBx|3x11Cx|3x11，x2k，kNDx|3x11，x2k，kZ解析：选项A表示的是所有大于3且小于11的有理数；选项B表示的是所有大于3且小于11的实数；选项C表示的集合中不含有2这个偶数3用列举法表示集合正确的是(B)A(1,1)，(0,0)B(1,1)，(0,0)Cx1或0，y1或0D1,0,1解析：解方程组得或所以已知集合可用列举法表示为(1,1)，(0,0)4若A2
14、,3,4，Bx|xnm，m，nA，mn，则集合B中的元素个数为_4_.解析：当n2，m3时，nm1；当n2，m4时，nm2；当n3，m4时，nm1；当n3，m2时，nm1；当n4，m2时，nm2；当n4，m3时，nm1.所以集合B中的元素共4个：2，1,1,2.5用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集(1)由方程x2x20的根组成的集合；(2)由直线yx4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；(3)不等式3x4x的解集解析：(1)因为方程x2x20的两根为x12，x21，所以由方程x2x20的根组成的集合为2,1有限集(2)用描述法表示该集合为M(x，y)|yx4，xN，yN，或用列举法表示该集合为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)有限集(3)由3x4x得2x4，所以x2，所以不等式3x4x的解集是2，)无限集