1、 1.7 定积分的简单应用 利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积、变速直线运动的路程、变力作功等问题 本节重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题 本节难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型 1在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限 2要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)0时要通过绝对值处理为正 3用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中
2、相关的内容，将物理问题转化为定积分解决 1利用定积分求平面图形的面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象(2)借助图形确定出被积函数(3)确定积分的，需要求出交点的坐标(4)把所求转化为求曲边梯形的面积问题上、下限图形的面积问题 例1如图，求曲线yx2与直线y2x所围图形的面积S.分析从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标 点评求平面图形的面积的一般步骤：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、
3、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和 关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上、下限 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：求yx2与yx2围成图形的面积S.解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为 xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)点评 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算
4、较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限 求由曲线xy1及直线yx，y2所围成的平面图形的面积 例3有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求(1)P从原点出发，当t6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值 解析(1)由v(t)8tt20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动 故t6时，点P离开原点的路程 点评 路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s情况如下：将本例第(1)问中的t6改为t5，结果会怎样？例4 一物体按规律xb
5、t3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x0运动到xa时，阻力所做的功 点评 本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻t10F阻ds写为t10F阻dt.设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 解析设x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)kx.依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即1005k，k20.F(x)20 x.由x0到x15，力F(x)所作的功 答案C 解析yx3与yx为奇函数且x0时，交于(0,0)和(1,1)2已知自由落体的速率vgt，则落体从t0到tt0所走的路程为()答案C 3如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A0.18JB0.26J C0.12JD0.28J 答案A 解析设F(x)kx，则拉力1N时，x0.01m，k100.
