1、人教A版选修二 离散型随机变量的方差 教案教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差过程与方法了解方差
2、公式“D(aXb)a2D(X)”，以及“若XB(n，p)，则D(X)np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题1数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xixnPp1p2pipn则称Ex1p1x2p2xipixnpn为的数学期望2数学期望的一个性质：E(ab)aEb.3若B(n，p)，则Enp.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表
3、示随机变量在随机试验中取值的平均值但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2的分布列如下：18910P0.20.60.228910P0.40.20.4试比较两名射手的射击水平高低提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？E180.290.6100.29，E280.490.2100.49，甲、乙两射手的射击平均水平相同设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方
4、差在一组数据x1，x2，xn中，S2(x1)2(x2)2(xn)2叫做这组数据的方差类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差(给出定义)1方差：对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，xi，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pi，pn，那么，D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn称为随机变量X的方差，式中的E(X)是随机变量X的均值标准差：D(X)的算术平方根叫做随机变量X的标准差，记作(X)(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反
5、映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛对“探究”的再思考(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？(2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？解：E180.290.6100.29，E280.490.2100.49，甲、乙两射手的射击平均水平相同又D10.4，D20.8，甲射击水平更稳定若对手在8环左右，派甲参赛，易赢若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥提出问题：前面我们知道若一组数据xi(i1,2，n)的方差为s2，那么另一组数据axib(a、b是常数且i1,2，n)的方差为
6、a2s2.离散型随机变量X的方差是否也有类似性质？活动结果：同样具有2方差的性质：D(aXb)a2D(X)；其他：D(X)E(X2)(E(X)2(了解)；3若XB(n，p)，则D(X)np(1p)例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差解：抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456P从而E(X)1234563.5；D(X)(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2(53.5)2(63.5)22.92，1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10
7、.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)1 2000.41 4000.31 6000.21 8000.11 400，D(X1)(1 2001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 6001 400)20.2(1 8001 400)20.140 000；E(X2)1 0000.41 4000.31 8000.22 2000.11 400，D(X2)(1 0001 400)20.4(1 4001
8、 400)20.3(1 8001 400)20.2(2 2001 400)20.1160 000.因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位【变练演编】 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D.101P12qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得q1.于是，的分布列为101P1所以E(
9、1)0(1)1()1，D1(1)2(1)2(1)1(1)2()1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：E(1)0(12q)1q2q2.另外既要会由分布列求E、D，也要会由E、D求分布列，发展逆向思维变式：若是离散型随机变量，P(x1)，P(x2)，且x1x2，又知E，D，求的分布列解：依题意只取2个值x1与x2，于是有Ex1x2，DxxE2，从而得方程组解之得或而x1D2说明甲机包装重量的差别大，不稳定乙机质量好答案：乙4一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分学生甲选
10、对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差解：设学生甲答对题数为，成绩为，则B(50,0.8)，2，故成绩的均值为EE(2)2E2500.880；成绩的标准差为245.7.【拓展练习】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数(1)求方差D的最大值；(2)求的最大值剖析：要求D、的最大值，需求D、E关于p的函数式，故需先求的分布列解：随机变量的所有可能取值为0,1，并且有P(1)p，P(0)1p，从而E0(1p)1pp，D(0p)2(1p)(1p)2ppp2.(1)Dpp2(p)2，0p1，当p时，D取得最大值为.(2)2(2p)，
11、0p1，2p2.当且仅当2p，即p时，取得最大值22.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性备选例题：某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品(1)已知甲、乙两种产品每一道工
12、序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；表一(2)已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求、的分布列及E、E、D、D；表二(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示该工厂有工人40名，可用资金60万元设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，zxEyE最大？最大值是多少？(解答时需给出图示)表三解：(1)P甲0.80.850.68，P乙0.750.80.6.(2)解：随机变量、的分布列分别是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4E50.682.50.324.2，E2.50.61.50.42.1.D(54.2)20.68(2.54.2)20.321.36，D(2.52.1)20.6(1.52.1)20.40.24.(3)由题设知目标函数为zxEyE4.2x2.1y.作出可行域(如图)：作直线l：4.2x2.1y0，将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M与原点距离最大，此时z4.2x2.1y取最大值解方程组得x4，y4.即x4，y4时，z取最大值，z的最大值为25.2.
