1、第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质选修 4-1 几何证明选讲1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_相等相等平分第三边平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的_成比例对应线段对应线段2相似三角形的判定定理与性质定理(1)判定定理判定定理 1：_对应相等的两个三角形相似判定定理 2：_对应成比例，并且_相等的两个三
2、角形相似判定定理 3：_对应成比例的两个三角形相似两角两边夹角三边(2)性质定理性质定理 1：相似三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们周长的比都等于_性质定理 2：相似三角形的面积比等于相似比的_(3)推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的_相似比平方平方3直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)直角三角形相似的判定定理判定定理 1：如果两个直角三角形_对应相等，那么它们相似判定定理 2：如果两个直角三角形的_对应成比例，那么它们相似判定定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应_，那么这两个直角三角形相似有一个
3、锐角两条直角边成比例(2)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比例中项比例中项考点一平行线截割定理的应用如图，等边三角形 DEF 内接于ABC，且 DEBC，已知AHBC 于点 H，BC4，AH 3，求DEF 的边长解设 DEx，AH 交 DE 于点 M，显然 MH 的长度与等边三角形DEF的高相等，又DEBC，则DEBCAMAHAHMHAH，所以x43 32 x32x2，解得 x43，即等边DEF 的边长为43.平行线截割定理的应用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个
4、定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比.1.如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，求梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比解：由 CD2，AB4，EF3，得 EF12(CDAB)，所以 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD有相同的高，设为 h，则 S 梯形ABFES 梯形EFCD12(34)h12(23)h75.考点二相似三角形的判定与性质如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，过点 D作 AC 的平行线 DE，交 BA 的延长线于点 E.求证：(1)ABCDCB；(
5、2)DEDCAEBD.证明(1)因为四边形 ABCD 是等腰梯形，所以 ACBD.因为 ABDC，BCCB，所以ABCDCB.(2)因为ABCDCB，所以ACBDBC，ABCDCB.因为 ADBC，所以DACACB，EADABC.所以DACDBC，EADDCB.因为 EDAC，所以EDADAC.所以EDADBC，所以ADECBD.所以 DEBDAEDC，所以 DEDCAEBD.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.2.如图，在
6、RtABC 中，ACB90，CDAB，E 为 AC的中点，ED、CB的延长线交于一点 F.求证：FD2FBFC.证明：因为 E 是 RtACD 斜边上的中点，所以 EDEA，所以A1，因为12，所以2A，因为FDCCDB2902，FBDACBA90A，所以FBDFDC，因为F 是公共角，所以FBDFDC，所以FBFDFDFC，所以 FD2FBFC.考点三直角三角形的射影定理如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F.求证：AEABAFAC.证明 因为 ADBC，所以ADB 为直角三角形又因为 DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得 AD2AFAC，所以
7、AEABAFAC.本例中“在ABC 中”改为“在 RtABC中，BAC90”，证明 BDDCAEAB.证明：在 RtABC 中，ADBC，所以 AD2BDDC.又由例题解析知 AD2AEAB，所以 BDDCAEAB.(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形，这是解直角三角形时常用的方法.3.如图所示，在ABC 中，CAB90，ADBC于点 D，BE 是ABC 的角平分线，交 AD 于点 F，求证：DFAFAEEC.证明：因为 BE是ABC 的角平分线，所以DFAFBDAB，AEECABBC.在 RtABC 中，由射影定理知，AB2BDBC，即BDABABBC.由得DFAFABBC，由得DFAFAEEC.本部分内容讲解结束按 ESC 键退出全屏播放按 ESC 键退出全屏播放