1、县（市、区）_ 班级_ 姓名_ 考生号_ 考场号_ 座位号_20202021学年（下）高一年级期中考试数学考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案 后，用铅笔把答题卡对应题目的答案 标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 标号回答非选择题时，将答案 写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量，则（ ）A B C D2已知复数，则（ ）A5 B4 C3 D2
2、3给出下列四个命题：底面是正多边形的棱柱是正棱柱；四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥其中正确的命题个数是（ ）A0 B1 C2 D34已知向量，且，则（ ）A B C D5已知某平面图形的直观图如图所示，若原平面图形的面积为12，则（ ）A6 B4 C D26已知在平面四边形中，若，则（ ）A B C D7如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（ ）A点直线 B与是共面直线C D与是异面直线8已知水的密度为，冰的密度为，水平放置的圆柱形桶内有一个半径为的冰球，待冰球完全融化后测
3、得桶内水面高为，则桶的底面半径为（ ）A B C D9伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙风”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，沿直线向西前进后，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，此时树干顶部的仰角为，则该伯乐树的高度为（ ）A B C D10在中，点为边上靠近点的三等分点，点为边的中点，则（ ）A B C D11已知在锐角中，内角的对边分别为，则的取值范围是（ ）A B C D12已知三棱锥的侧棱两两垂直，若
4、该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为，宽为，壁厚若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为，则灰的体积为_14已知是关于的方程的一个根，则_15已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为_16已知在中内角的对边分别为，角，边，且，则_三、解答题：共70分解答应写出文字说
5、明，证明过程或演算步骤17（10分）已知向量（）若，且，求的值；（）若与的夹角大小为，求的值18（12分）当实数满足什么条件时，在复平面内表示复数的点分别满足下列条件？（）位于第三象限；（）位于第二象限或第四象限；（）位于直线上19（12分）如图所示为一段环形跑道，中间的两段为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以四点为顶点的四边形是矩形甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量表示（）当甲到达的中点处时，求；（）求后，的夹角的余弦值注：的值取320（12分）在四边形中，（）求角；（）求的长21（12分）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点分别为
6、上的点（）在棱上是否存在点使得平面平面？请说明理由（）在（）的条件下，求几何体的体积22（12分）已知在中，内角所对的边分别为，其中（）若，求；（）若，求的面积20202021学年（下）高一年级期中考试数学答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1答案 B命题意图 本题考查向量的坐标运算解析 2答案 A命题意图 本题考查复数的运算及共轭复数的概念解析 因为，所以3答案 B命题意图 本题考查柱体、锥体的定义及性质解析 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故错；由多面体的定义可知正确；由直棱柱的定义可知错误；直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，故错故正确的命题有1个4
7、答案 C命题意图 本题考查向量垂直的定义及向量的数量积解析 因为，所以，所以5答案 D命题意图 本题考查斜二测画法解析 由题可知原平面图形是上底为，下底长为4，高为的梯形，其面积为，解得6答案 B命题意图 本题考查平面向量的基本定理解析 作出图形如图所示因为，所以因为，所以，则7答案 C命题意图 本题考查空间点、直线的位置关系解析 由题图可知，还原为正方体后，点与点重合，所以点直线，又可知与是平行直线，即共面直线，与是相交直线（点与点重合），与是异面直线，故只有C错误8答案 A命题意图 本题考查球的体积与圆柱的体积的计算解析 设桶的底面半径为，由题可知，解得9答案 A命题意图 本题考查正弦定理
8、的实际应用解析 作出示意图如图所示，为该树在中，由正弦定理可得，所以，所以该伯乐树的高度为10答案 D命题意图 本题考查平面向量基本定理解析 由题可知，设，则，则解得故11答案 D命题意图 本题考查正弦定理与三角恒等变换解析 由正弦定理可知又的取值范围是12答案 C命题意图 本题考查空间几何体的表面积与体积解析 因为，且，所以设依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，可知其外接球的半径，又，解得，故，解得，故该三棱锥的表面积二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13答案 3283命题意图 本题考查体积的计算解析 所求体积为14答案 2命题意图 本题考查复数的概念及复数的
9、运算解析 由题可知，即，所以，且，解得15答案 命题意图 本题考查圆锥的内切球及表面积解析 由题可知球为圆锥的内切球，作轴截面如图所示，设圆心为，圆与边的切点为，连接，在中可知，所以，所以圆锥的底面半径为，母线长为，所以圆锥的表面积为16答案 命题意图 本题考查正弦定理解析 因为，所以，由正弦定理可得，即因为为三角形的内角，所以由正弦定理可得三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17命题意图 本题考查向量的模的定义及向量夹角的定义解析 （）由题可知 （2分），解得 （4分）（）设与的夹角为由题可知 （6分） （8分）解得或 （10分）18命题意图 本题考查复数的几何意义解析
10、 （）由题可知 （2分）即解得的取值范围为 （4分）（）由题可知或 （6分）即或解得的取值范围为 （8分）（）由题可知， （10分）即，解得 （12分）19命题意图 本题考查向量的数量积及向量的夹角的余弦值解析 （）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，设此时甲的位置为点，乙的位置为点，则， （2分）， （4分） （6分）（）后甲、乙的路程均为， （7分）的长度均为，后甲、乙分别到达点处 （9分） （10分）设的夹角为，则后的夹角的余弦值为 （12分）20命题意图 本题考查正、余弦定理的应用解析 （）在中，由余弦定理可得， （2分）因为，
11、所以 （5分）（）因为，所以在中，由正弦定理可得，即， （6分）解得，即 （7分）因为，所以 （8分）在中，由正弦定理可得，即， （10分）解得 （12分）21命题意图 本题考查面面平行的性质定理及几何体体积的计算解析 （）如图，连接交于点，连接由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，点为的中点 （1分）平面平面，且平面平面，平面平面,，同理， （3分），又， （5分）即为的中点，为的中点 （6分）注：以“为的中点，为的中点”为条件，证明“平面平面”也算对，酌情给分（）， （8分）， （10分） （12分）22命题意图 本题考查正弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换解析 （）因为，所以，故，所以或 （3分）因为，所以，即，故 （4分）由余弦定理可得，解得（负值舍去） （6分）（）由，得 （7分）因为，所以 （8分）根据正弦定理，及，得，所以 （10分）代入，得，所以 （1l分）所以的面积为 （12分）
