1、【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专
2、题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。【知识归纳】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a0、a0、a
3、2时分a0、a0和a0) ，圆半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点M的坐标为（x，y），则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型4：不等式中分类讨论问题例7解不等式0 (a为常数，a)分析：含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号
4、和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax0或a8,a=8,a8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问
5、题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。 1对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟得来，这种延迟讨论有时也是一种简
6、化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“不可避免的直接讨论型”问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。2实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较，从中选择最为合理的分类途径。3分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。4分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。5应该注意的是，在运用
7、时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。【专题训练】一、填空题1不等式(a2)x22(a2)x40，椭圆x2a2a2y20的长轴长是短轴长的2倍，则a_.8已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则a1的值为_9若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_10函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_11若函数f(x)a|xb|2在0，)上为增函数，则实数a、b的取值范围为_1
8、2若x(1,2)时，不等式(x1)20，a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值14.已知函数f(x)2asin2x2 asin xcos xab(a0)的定义域是，值域是5,1，求常数a，b的值15已知函数f(x)2x2x，求m、n的值，使f(x)在区间m，n上值域为2m,2n (m0且b0 12(1,213解设tax，则yt22t1.(1)当a1时，因为x1,1，所以t，而yt22t1(t1)22，故在t上，y单调递增，所以ymax(a1)2214，故a3.(2)当0a1时，因为x1,1，所以t，而yt22t1(t1)22，故在t上，y单调递增，所以ymax2214，故a.综上知a3或a.14解f(x)2a(1cos 2x) asin 2xab2a2ab2asin2ab，又0x，2x，sin1.因此，由f(x)的值域为5,1可得或解得或.15解f(x)22.(1)若mn，必有解得或与mn矛盾(2)若mn，必有即两式作差得mn，将其代入式，得2m2m10，70，方程无实根(3)若mn，则必有：2nf，n.又ff，故当m时，也有2m.m，与m矛盾当m时，有f(m)2m.解得m或m0(舍去)综上可知，m，n.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
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