1、合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解【详解】设直线的倾斜角为，直线可化为，所以直线的斜率，故选：D2. 三棱柱ABCA1B1C1中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.【详解】.故选：D3. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为
2、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得所以圆的半径为故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.4. 如果向量，共面，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【详解】由于向量，共面，设，可得，解得.故选：B.5. 已知圆经过两点，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可
3、得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆的半径，所以，圆的方程为，即.故选：C.【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题.6. 如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以D为原点，以方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向
4、建立空间直角坐标系.不妨设，则，所以，所以，因为，所以，整理得，解得或，由题可知，所以.故选：C7. 从直线xy30上的点向圆x2y24x4y70引切线，则切线长的最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，应选答案B点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想8. 在正方体中，若棱长为，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（ ）A. 平面B. 直线与平面所成角的正弦值为定
5、值C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，令，得，令，得，对于A，显然，即，而，平面，因此平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，因为，平面，则平面，于是为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则不是定值，B错误；对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，而，则，即有，又，平面，因此平面，则平面平面，C正确；对于D，显然，因此点到平面的距离为，为定值，D正确.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题
6、目要求）9. 正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二：，故A正确；由正方体的性质可知，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC10. 下列说法中，正确的有（ ）A. 点斜式可以表示任何直线B. 直线在y轴上的截距为C. 点到直线的的最大距离为D. 直线关于对称的直线方程是【答案】BC【解析】【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A；，求出，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点的
7、距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线上的点关于直线对称的点的坐标，即可判断D.【详解】解：对于，点斜式不能表示斜率不存在得直线，故A错误；对于B，令，则，所以直线在y轴上的截距为，故B正确；对于C，直线化为，令，解得，所以直线过定点，则点到直线的的最大距离为，故C正确；对于D，联立，解得，即直线与直线的交点为，设直线上的点关于直线对称的点，则，解得，即，所以所求直线方程为，即，故D错误.故选：BC11. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 为钝角D. 在方向上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向
8、量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.12. 以下四个命题表述正确的是（ ）A. 直线恒过定点B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1【答案】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.
9、【详解】对于，直线方程可化为，令，则，所以直线恒过定点，错误；对于，设点的坐标为，所以，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，令，解得，故直线经过定点，正确；对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，曲线化为标准式得，所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；故选：【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题三、填空题（本
10、大题共4小题，共20分）13. 已知，方程表示圆，圆心为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，和确定出的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标.【详解】由题意得，解得或，当时，方程化为，此时，所以此方程表示圆，所以圆的圆心为，半径为5，当时，方程化为，即，此时，所以此方程不表示圆，综上，圆心为，故答案为：14. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是_【答案】#【解析】【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.则，所以，记与同向的单位向
11、量为，则，所以，点A到直线BE的距离.故答案为：15. 若圆，与圆：相交于，则公共弦的长为_.【答案】【解析】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：16. 如图，把边长为2的正方形纸片沿对角线折起，设二面角的大小为，异面直线与所成角为，当时，的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设的中点为，则为二面角的平面角，利用坐标法，根据线线角的向量求法可得，然后根据三角函数的性质即得.【详解】设的中点为，连接，则，所以为二面角的平面角，即，如图以为原点建立空间直角坐标系，则，所以，所以，因为，所
12、以，所以.故答案：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 求经过直线ll 2x-y+4=0与直线l2 x-y+5=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线x-2y-1=0平行； （2）与直线x+3y+ 1=0垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用平行直线的系数关系可求，从而可求与已知直线平行的直线方程.（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求，从而可求与已知直线垂直的直线方程.【详解】（1）设所求直线为，故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.（2）设所求直线为，
13、故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.18. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，设（1）求；（2）求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；（2）先表示出，再按照数量积运算求解.【小问1详解】， ， ， 即有；【小问2详解】19. 已知的三个顶点的坐标为、，试求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）的面积【答案】（1） （2）24【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，进而得边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出及直线方程，再由点到直线距离公式求得到的距离，即可求得面积.【小问1详解】因为，则边上
14、的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得【小问2详解】，直线方程为，整理得，则到的距离为，则的面积为.20. 在正方体中，已知为中点，如图所示 （1）求证：平面（2）求异面直线与夹角大小【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求异面直线的夹角.【小问1详解】在正方体中，因为，两两垂直，故以为原点，为，轴的正方向建立空间直角坐标系如图： 不妨设正方体的棱长为1，则，故，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以从而，又平面，所以平面.小问2详解】设、分别为直线与的方向向量，则由，得,所以，所以两异面直线与的夹角的大
15、小为21. 已知点，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】（1）求出圆C：后，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案；（2）根据可得点M在以为圆心，2为半径的圆上.再根据两圆有交点，列式可解得结果.【详解】(1)由得：，所以圆C：. 当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或. (2)由圆心在直线l：上，设设点，由得：化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M在圆C上，所以圆C与圆D
16、有交点，则即，解得：或.【点睛】本题考查了求圆的方程及其切线方程，考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.22. 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【详解】试题分析：由PA=PD, O为AD中点，侧面PAD底面ABCD，可得PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O为坐标原
17、点,OC为x轴,OD为y轴, OP为z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.试题解析：(1)在中，为AD的中点，所以,侧面PAD底面ABCD,则PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接,则,以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴,直线为z轴建立空间直角坐标系., 所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.(2) 假设存在，则设=因为=（0，1，1），所以Q（0，1）设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1，1，+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角QACD的余弦值为，所以=，所以3210+3=0所以=或=3（舍去），所以=.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
