1、梅州市高中期末考试试卷（2021.7）高二数学参考答案与评分意见一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案BACBDCCB二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分题号9101112答案BCACBCDACD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13.714.515.14016.481四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明，证明过程
2、或演算步骤17(本小题满分 10 分)（1）解：3()cos(3cossin)2f xxxx233cossincos2xxx.1 分1 cos2sin 233222xx.3 分31cos2sin 2sin(2)223xxx.5 分又函数()f x 的最小正周期为，所以 22，故1.所以)32sin()(xxf.6 分（2）由题意，得3222,232kxkkZ，.8 分解得：Zkkxk,12712，所以)(xf的单调递减区间是)(127,12Zkkk.10 分18(本小题满分 12 分)解：（1）依题意得：012(1)122,2nnnn nCCCn.2 分即2420nn，得67.nn 或.3 分
3、,6.nZn.4 分展开式中二项式系数最大的项为第四项，即333344642()()160.TCxxx.6 分（2）展开式的通项公式为：33 416 2(),(0,1,6),rrrrTCxr.8 分3:3,(0,1,2,6),4 rZr依题且.10 分解得0r或4r，.11 分展开式中的有理项为3x 和240.12 分19(本小题满分 12 分)解：（1）选择条件：CbaBccossin33，由正弦定理得：CBABCcossinsinsinsin33，.2 分又在 ABC中，CBCBCBAsincoscossin)sin(sin，.3 分CBCBABCsincoscossinsinsinsin
4、33，.4 分又0sin),0(CC，3 sincos,tan3,3BBB.5 分0,.3BB.6 分选择条件：sincos(),6bCCB:sinsinsincos(),6BCCB由正弦定理.2 分(0,),sin0,sincos(),6CCBB即BBBBBsin21cos236sinsin6coscossin.4 分13sincos,tan3.22BBB.5 分0,.3BB.6 分（2）222cos60,2acbac224caac，.8 分acca222，accaac2422，)2(,4等号成立时当且仅当，caac.10 分由三角形面积公式可知3sin21BacS ABC，ABC面积的最大
5、值为3.12 分【用正弦定理转化三角函数求最值，亦分步给分】20(本小题满分 12 分)解：（1）由散点图知，年广告费用 x 和年利润额 y 的回归模型并不是直线型的，而是曲线型的，且 y 与 x 呈正相关,.2 分所以选择回归模型kym x更符合.4 分（2）对kym x两边取自然对数，得lnlnlnymkx，.5 分lnvy，lnux，则lnvmku，.6 分由表中数据得，101102211030.5 10 1.5 1.5146.5 10 1.5 1.5310iiiiiu vuvkuu，.7 分1ln1.51.513mvku，所以 me，.8 分所以年广告费用 x 和年利润额 y 的回归方
6、程为13.yex.9 分（3）由（2）知13,yex令1310,ex.10 分得1310 xe，得133.6788x，.11 分所以33.678849.787x，所以49.8x（十万元）故该年至少投入 498 万元广告费.12 分21(本小题满分 12 分)证明：（1）在直角梯形 ABCD中，易知2 2,2 2,BDAD.1 分2224,ABDADBAB,DADB.2 分,DBPAPADAA且.3 分.DBPAD 平面.4 分解：（2）延长,.ADBCGPG与交于点连结取 AD 的中点O，连结 PO，因为,.PAPDPOAD由（1）,DBPAD DBPAD平面平面,DBAD ADPOO.POA
7、BCD 平面.5 分过点O 作/,OyDB 以O 为原点,分别以,OA Oy OP 所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系，假设存在点 M 符合题意，且(01).PMPG(0,0,2),(2,0,0),(2 2,2,0),(3 2,0,0),(2,2,0),(2,0,2).PDCGDCPG.6 分(,),220,220D PCnx y znD MxznD Cxy 设 平 面的 法 向 量.7 分1,1,1,(1,1,1).xyzn 令则.8 分,(232,0,22).D MD PPMD PPGD M.9 分1(1,1,1 3),DCMn同理可得平面的法向量.10 分111536cos,
8、323 11103n nn nn n .11 分解得31或3（不合，舍去）.12 分故存在满足条件的点 M，且1.3PMPG 另附：求向量 DM 亦可以用以下解法二：(01).PMPG设cbaM,，)2,(cbaPM，)2,0,23(PG,)2,0,23()2,(cba,可得22,0,23cba,22,0,23M，22,0,223DM22(本小题满分 12 分)解：（1）由题意知样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x，70.5x.2 分14.31s，所以，,256.19,99.12，而112220.818622PzPzz，故2 万名5G 手机用户
9、中满意度得分位于区间56.19,99.12 的人数约为20000 0.818616372（人）；.4 分（2）（）小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为9111221024P；.6 分（）由题意可知 X 的可能取值有0、100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000，即100Xi，010i，iN，.7 分当19i，iN时，100Xi，说明小王前i 轮连续中奖且第1i+轮未中奖，此时1111100222iiP Xi，.8 分又102P X 满足1111100222iiP Xi，10110002P X，所以，1101,09,21001,102iiiNP Xii ，.9 分所以23410101123910000100222222E X，.10 分令2341012392222S，则345111123922222S，上述两个等式相减得292341011111111111199221222222212S10111111911122222，化简得101112S ，.11 分所以，1010811100025110010099.90222E X（元）.12 分