1、直线与圆的方程的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险地区,城市B在A的正东40km外,B城市处于危险区内的时间为()A.0.5h B.1h C.1.5h D.2h2.圆C：(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P,Q,原点为O,则|OP|OQ|的值为()A. B.28 C.32 D.由k确定3.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为()A.(-24)m B.(+24)mC.(24-)m
2、 D.不确定4.将直线2x-y+=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数的值为()A.-3或7 B.-2或8C.0或10 D.1或115.若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围为()A.(0,) B.(,+)C.( D.(二、填空题(每小题8分,共24分)6.与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a=.7.一条光线从点A(7,2)射入,经过x轴上点P反射后,通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心,则反射点的坐标为.8.若点P在直线l1：x+y+3=0上
3、,过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.有相距100km的A,B两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居民从两地运回商品时,A地的单位距离的运费是B地的2倍.问怎样确定A,B两批发市场的售货区域对当地居民有利?10.在平行四边形ABCD中,用坐标法证明：|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=|AC|2+|BD|2.11.(能力挑战题)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴,y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着
4、y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,求该圆运动的时间.答案解析1.【解析】选B.建立直角坐标系如图,圆B是半径为30km的圆,当台风中心处于弦CD之间(包括端点)时城市B处于危险区,易知CD长为20km,故城市B处在危险区的时间为1小时.2.【解题指南】由平面几何知识可知|OP|OQ|等于过O点圆的切线长的平方.【解析】选B.如图,过原点O作C的切线OA,连结AC,OC,在RtOAC中,|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28,由平面几何知识可知,|OP|OQ|=|OA|2=28.3.【解析】选A.如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B
5、,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A,B,P在此圆上,故有解得故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,结合图形解得y=-24+.故支柱A2P2的长约为(-24)m.【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;常选特殊点作为直角坐标系的原点;尽量使已知点位于坐标轴上.4.【解析】选A.直线2x-y+=0,沿x轴向左平移1个单位可变形为2(x+1)-y+=0,即2x-y+2=0.又d=,则=7或=-3.5.【解题指南】画出曲线
6、y=1+及直线y=k(x-2)+4的图象,利用数形结合求k的取值范围.【解析】选D.如图,曲线y=1+表示上半圆,直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),且A(-2,1).因为kPA=,PC与半圆相切,所以易求kPC=,所以k.6.【解析】x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),因为(2,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,1),所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1,1).因为x2+y2-ax-2y+1=0,即为(x-)2+(y-1)2=,圆心为(,1),所以=1,即a=2.答案：27.【解析】B关于x轴对称点B(-3,-3).直线A
7、B：,即5x-35=10y-20,即5x-10y-15=0,所以直线AB与x轴交点为(3,0),所以反射点坐标为(3,0).答案：(3,0)【举一反三】若把题干中“通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心”改为“与圆B：(x+3)2+(y-3)2=25相切”,则反射点的坐标为 .【解析】圆B：(x+3)2+(y-3)2=25关于x轴对称圆的方程为圆B：(x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为y-2=k(x-7)即kx-y-7k+2=0,又圆心B(-3,-3)到kx-y-7k+2=0的距离等于半径5,所以=5,所以k=或k=0(舍),所以入射光线的方程为x-y-=0,所以入射
8、光线与x轴交点为(,0),所以反射点坐标为(,0).答案：(,0)8.【解析】曲线C：(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在MPC中,CMPM,则|PM|=,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d=,则|PM|的最小值为=4.答案：49.【解析】建立以AB所在直线为x轴,AB中点为原点的直角坐标系,则A(-50,0),B(50,0).设P(x,y),由2|PA|=|PB|,得x2+y2+2500=0,所以在圆x2+y2+2500=0内到A地购物合算;在圆x2+y2+2
9、500=0外到B地购物合算;在圆x2+y2+2500=0上到A,B两地购物一样合算.10.【证明】以CA所在的直线为x轴,线段CA的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,0),B(b,c),则C(-a,0),D(-b,-c).|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=2(|AB|2+|BC|2)=2(b-a)2+c2+(-a-b)2+(-c)2=4a2+4b2+4c2,|BD|2+|AC|2=(-b-b)2+(-c-c)2+(-a-a)2=4a2+4b2+4c2.所以|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=|AC|2+|BD|2.11.【解析】设运动的时间为t秒,则t秒后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C与直线l：y=-4,即4x-3y-12=0相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6秒或16秒.