1、三角函数问题中的数学思想福建石狮石光华侨联合中学（362700）林建森三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。一、 数形结合思想-数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。例1比较的大小解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，但如果我们注意到相差较大
2、，容易利用单位圆上的三角函数线区分比较它们各自函数值的大小。如图1所示设，可知，因此，例2函数的定义域是解析：该函数的定义域即不等式组的解集，即的解集若用传统方法则要求与的交集，比较麻烦，若画出的图象如图2所示，再由，易得例3求方程实根的个数解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的实根个数。在同一坐标系中画出函数的图象，如图3所示，两个图象有三个交点,即方程有三个实根。 0yx 二、 分类讨论思想分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而问题化整为零，各个击破。体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象限有不同的三角函数值，因此就应根据求
3、值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。例4化简：解析：原式=（1）当为偶数即时：原式=（2）当为奇数即时：原式=例5已知，求的值解析：已知，但不知角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上；应根据的值来确定角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来求的值。（1）当，即（此时角的终边在轴上）时，（2）当，为第一或第三象限角若角在第三象限，则若角在第三象限，则（3）当，为第二或第四象限角若角在第二象限，则若角在第四象限，则综上所述，当角在第一象限、轴的正方向及第四象限角时，当角在第二象限、轴的负方向及第三象限角时，三、 函数与方程思想三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题
4、自然离不开函数与方程的思想。体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。例6求当函数的最大值为1时的值解析：依据题设条件，可转化为关于的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。设求函数的最大值为1时的值等价于求闭区间上的二次函数的最大值为1时的值（1）当时，即时，有最大值为，由题设可知（舍去）；（2）当时，即时，有最大值为，由题设可知=1，解得 （正号舍去）（3）当时，即时，
5、有最大值为，由题设可知综上可得或例7已知，求的值解法1：直接解方程组若，则，即由得解法2：构造一般方程由得：又以为两个根，构造一元二次方程，解得，则，从而四、 转化与化归思想把所研究的问题转化为与之等价的问题，将陌生问题转化为熟悉问题，从而便于找出问题的解决方法。体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。例8求函数的值域解析：先切割化弦，统一函数名称，得令，则因为，所以于是求原函数的值域就转化为求函数的值域，解得因此，原函数的值域为五、 整体的思想体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。例9已知为三角形的一个内角，且满足（1）求的值；（2）求的值解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值（1）由平方，得，即因为又因为为三角形的一个内角，所以，则因此（2）=六、 分析与综合的思想体现在三角函数中是把所要求的值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。例10设、是方程的两根，求的值解析：运用分析与综合的思想方法，要求的值，可先求它的某一三角函数值，进而求出它的值。依题设本题可求该两角和的正切值，再由两根的符号断定的范围，从而求出该两角和的大小。由题意得；则、异号，不妨设又