1、高考资源网（） 您身边的高考专家河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】，,所以，.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：，所以的虚部为
2、4.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.3. 以下统计表和分布图取自清华大学2019年毕业生就业质量报告.毕业去向本科生硕士生博士生总体人数比例人数比例人数比例人数比例深造22822314893002国内1583942901967出国（境）6991371991035就业49022249433657签三方就业15416568642674灵活就业33656879983未就业643923126合计2836249414556785清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误的是（ ）.A. 清
3、华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】【分析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达，硕士生选择就业达，则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达，本科生的就业率达，则判断选项B正确；选项C在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C正确；选项D在表中分析出留北京人数仅博士生达到了
4、51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D错误即可.【详解】选项A：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达，硕士生选择就业达，故选项A正确；选项B：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达，本科生的就业率达，故选项B正确；选项C：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C正确；选项D：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D错误.故选：D.【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4. 若圆关于直线对称，则的最小值为
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心在直线上，则，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心在直线上，则.又因为，所以，当且仅当时，即时取等号，此时，故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5. 要使得满足约束条件，的变量表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设新增加的约束条件为，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为，两组对边的距离相等，故，所以
6、或(舍去).如图所示故选:C.【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6. 若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若是递增数列，则B. 若是递减数列，则C 若，则D. 若，则是等比数列【答案】D【解析】【分析】选项A，B，C中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A，B，C都是错误的，选项D中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.【详解】A选项中，满足单调递增，故A错误；B选项中，满足单调递减，故B错误；C选项中，若，则，故C错误；D选项中，所以是等比数列.故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定
7、义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7. 为了得到函数的图象，需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先将函数用诱导公式变形为，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案.【详解】,由的图象得到函数的图象，向右个单位长度即可.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8. 设是定义在上的奇函数，且当时，.若，大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题
8、意当时，是定义在上的奇函数,则在定义域上单调递增，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当时,，所以在上单调递增，且又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增.所以在定义域上单调递增.又因为，所以，由在定义域上单调递增，则 所以.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9. 如图是由等边和等边构成的六角星，图中的，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为，得出点的坐标，由向
9、量的运算可求得的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，所以，所以以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为.则等边三角形的高为，由，均为三等分点，则,所以,所以，解得所以故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10. 区块链是数据存储传输加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在
10、另外一个点与之相连)，现有，四个点，若图中恰有条边，则满足上述条件的图的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：地球
11、到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中点和点；已知地球公转轨道的长半轴长约为千米，短半轴长约为千米，则该椭圆的离心率约为.因此该椭圆近似于圆形：已知我国每逢春分（月日前后）和秋分（月日前后），地球会分别运行至图中点和点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于
12、图中点和点，命题正确；，则该椭圆的离心率，命题错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从点到点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题错误.故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12. 正方体的棱长为，在，这六个顶点中.选择两个点与，构成正三棱锥，在剩下的四个顶点中选择两个点与，构成正三棱锥，表示与的公共部分，则的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设平面与平面的交线为，则为四面体，取的中点，连，可得平面，然后，分别求出与即可求出的体积【详解】如图，由题意知，
13、和分别为三棱锥和三棱锥，设平面与平面的交线为，则为四面体，取的中点，连接，可得， ，可得平面，则的体积为故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题：13. 的展开式中的系数为_.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项，再令即得解.【详解】由题得.令，解得，所以的系数为.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 记为正项等差数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据已知求出，再利用等差数列求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，由题得，所以所以.所以
14、.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若抛物线的焦点到双曲线的一个焦点的距离为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的方程可化为，所以，所以其一个焦点化为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.16. 已知函数，若的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】把转化为，设，则若的解集中恰有三个整数
15、解等价于的图像在的图像上方所对应的的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】解：等价于，即，设，则上面不等式转化为，直线横过定点，要使的解集中恰有三个整数，只需的图像在的图像上方所对应的的取值范围中恰好有三个整数解.因为,所以时，单调递增；时，单调递减；所以时，且，时，；时，根据根据上述画出的图像图下图所示：当时，画出的图像如图所示：从图中可以看出，时，的图像横在的图像上方，所以所以的的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意；当时，画出的图像如图所示：从图像可得：要使的图像在的图像上方所对应的的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足
16、：，所以，解得：.综上，.故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在锐角中，内角，所对的边分别为，若，边上的高，.（1）求长：（2）过点作，垂足为，且为锐角，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到，根据等腰三角形的性质，得，利用二倍角公式求出的正弦、余弦，进而求出的正切值，即可出的长(2)利用，求出，然后，分别利用余弦和正弦定理即可
17、求解【详解】解：（1）由及正弦定理得即.因为，所以因为为锐角三角形，且，所以.又因为根据等腰三角形的性质，可得，所以则所以所以，所以（2）由题意得在，因为所以.由得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.18. 如图，在三棱锥中，平面，为棱上的一点，且平面.（1）证明：；（2）设.与平面所成的角为.求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到平面，进而可得；（2）先由题意，得到，求得，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出两平面和的法向量，根据向量夹角公
18、式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面因为平面，所以.（2）解：因为平面，即为与平面所成的角，所以，所以，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系则设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为则，即，令可得所以由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值
19、天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会
20、减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【解析】【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为，再根据，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞.【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为，设今后年中高温年出现年，则故，.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后年共损失元，则若选择方案二，购买遮阳伞，设今后年共损失元，则(元)则，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛
21、】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆的左右焦点分别为，且.过椭圆的右焦点作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知，设，根据勾股定理计算得到，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据得到和的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由，可知椭圆半焦距，设，因为，所以，在中，即，所以，所以，解得，所以椭圆
22、标准方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边所在直线方程为，另一边所在的直线方程为，则对边所在直线方程为，联立，得，由题意知，整理得，矩形的一边长为，同理，矩形的另一边长为，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，所以，则，所以.综上所述，该矩形面积的取值范围为.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数，若是函数的零点，是函数的零点.（1）比较与的大小；（2）证明：.【答案】（1），见解析（2）见解析【解析】【分析】方法一：利用，利用对
23、不等式进行放缩，可得，进而利用单调递增，且和，即可比较与的大小方法二：设，令函数，从而判断出函数的单调性，即可利用函数的单调性即可比较与的大小(2) 令函数，则，要证，即证，只要证：，最后通过证明函数在区间上的单调性进行证明即可.【详解】（1）解:方法一：因为，所以，所以.因为，且单调递增，所以方法二：设，令函数则，则则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以所以因为，且单调递增，所以（2）证明：令函数，则.要证，即证只要证：，只要证：函数在区间上单调递减.由题意得因为所以所以因为单调递增，所以在区间上，所以在区间上单调递减.所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求
24、导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，曲线上异于原点的两点，所对应的参数分别为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，直线平分曲线，求的值；（2）当时，若，直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出直线的方程和曲线的直角坐标方程，然后利用直线过点求出答案；（2）由可算出，然后可设直线的方程为，然后根据直线被曲线截得的弦长为建立方程求解即可.【详解】（1）因为，所以.所以直线的方程为.曲线的方程可化为因为直线平分曲线，所以直线过点，所以.（2）由题意可知
25、曲线的方程为设直线的方程为，圆心到直线的距离为因为，所以所以或，所以直线的方程为或【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，弦长为，则有.23. 已知函数.（1）求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）对分三种情况、讨论，分别求出每一种情况下的实数的取值范围，最后综合即得解.【详解】解：（1）由题意得当时，得，所以此时无解；当时，由，即，解得；当时，由，即，解得综上，解集.（2）当时，显然恒成立.当时，因为恒成立，所以，即恒成立.令则显然在区间上为增函数，所以，所以.当时，.因为恒成立，所以，即恒成立.令，则显然在区间上为减函数，所以，所以.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 26 - 版权所有高考资源网