1、上海中学高一下期末数学试卷2020.6一、填空题1在数列中，若，则 2在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第 项3等差数列的前15项和为90，则 4等比数列满足则 5等差数列的前项和为，则取最大值时 6数列由确定，则中第10个3是该数列的第 项7已知方程在区间内有两个相异的解，则的取值范围是 8在数列中，则 9 10对于数列，当为奇数时，；当为偶数时，则这个数列的前项之和为 11一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是，另一个是若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则 12若数列，满足，若对任意的，都有，设
2、，则无穷数列的所有项的和为 二、选择题13用数学归纳法证明“”，从“到”，左边需增添的因式为（ ）A B C D14“”是“依次成等比数列”的（ ）条件A充分非必要 B必要非充分C既不充分也不必要 D充分必要15等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则的值可以为（ ）A B C D16为实数构成的等比数列的前项和，则中（ ）A任一项均不为0 B必有一项为0B至多有有限项为0 D或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17有三个数依次成等比数列，其和为21，且依次成等差效列，求18解下列三角方程：（1）；（2）；（3）19己知等差数列满足，（1）求数列的通项公式；
3、（2）求数列的前项和20已知数列的前项和为，且是6和的等差中项（1）求数列的通项公式和前项和；（2）若对任意的，都有，求的最小值21对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论参考答案一、填空题1 212 36 415 56或7 61536 7 8 9 10 11 121【第10题解析】分组求和：【第11题解析】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“、4”；第
4、3次生成的数为“1、2、7”；第4次生成的数为“、4、5、4、10”；可观察出：，当时，是公差为4的等差数列，【第12题解析】由题意，是首项为2，公比为2的等比数列，而，可得，从而，其各项和为二、选择题13B 14B 15C 16D【第15题解析】，符合，选C【第16题解析】，当时，有无穷多项为0；否则，无一项为0，选D三、解答题17由题意，可设，于是，从而，可得或18（1）即；（2）即，两边同除，可得，或，；（3）令，则，从而，即，解得或（舍），再由，或，或19（1）；（2）由错位相减法，可得20（1）由题意，令，可得，-，得，即，是首项为2，公比为的等比数列，；（2）为奇数时，关于单调递减且恒成立，此时，；为偶数时，关于单调递增且恒成立，此时，；，于是21（1），则所以（2），所以，所以，当，即时，所以，解得（，舍去）当，即时，所以，解得（，舍去）当，即时，所以，解得（，舍去）综上，（3）成立 （证明1）由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约） 由，可得；若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得若则，若均不为0，则这个正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾故中至少有一个为0，即存在，使得从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有.（证法2，数学归纳法）
