1、课时分层作业 二十四直线与圆的位置关系一、选择题(每小题5分，共30分)1.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为()A.B.C.(6-2)D.【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的情况即可.【解析】选A.由题意得圆C过坐标原点，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为=，圆的面积为S=r2=.2.过点(2，1)的直线中，被x2+y2-2x+4y=0截得弦长最长的直线方程为()A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-3=0D.x-3y+1=0【解析】选A.圆x2+
2、y2-2x+4y=0的圆心为(1，-2)，被圆截得弦最长的直线过圆心，所以所求直线过点(2，1)与(1，-2)，可得所求直线的方程为3x-y-5=0.3.曲线y=1+与直线l：y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.根据题意画出图形，如图.由已知，直线l过A(2，4)，B(-2，1)，又曲线y=1+图像为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得k=；当直线l过B点时，直线l的斜率为 =，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为.4.(2018沈阳高二检测)直线x-3y+3=0
3、与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.3【解析】选A.圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1，3)，半径r=，圆心到直线x-3y+3=0的距离d=，故弦长为2=.5.(2018温州高二检测)对任意的实数k，直线y=kx-1与圆C：x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能【解析】选C.直线y=kx-1恒经过点A(0，-1)，圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1，0)，半径为，而|AC|=0)没有公共点，则a的取值范围是()A.(0，-1)B.(-1，+1)C.(-1，+1)D.(0，+1)【解析】选
4、A.把圆x2+y2-2ay=0(a0)化为标准方程为x2+(y-a)2=a2，所以圆心(0，a)，半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心(0，a)到直线x+y=1的距离d=r=a，当a-10即a1时，化简为a-1a，即a(1-)1，因为a0，无解；当a-10即0aa，即(+1)a1，a=-1，所以a的范围是(0，-1).二、填空题(每小题5分，共10分)7.(2018西安高二检测)若P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是_.【解析】设圆心为C，则C(1，0)，因为P(2，-1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，易知直线CP的斜率为-1，所以直
5、线AB的斜率为1，故直线AB的方程为x-y-3=0.答案：x-y-3=08.(2018南宁高二检测)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2，则a=_.【解析】由已知，圆心为(a，0)，半径为2，圆心到直线y=x-4的距离为.因为弦长为2，所以=，解得a=2或a=6.答案：2或6三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2018台州高二检测)已知直线l过点(2，1)，且在y轴上的截距为-1.(1)求直线l的方程.(2)求直线l被圆C：x2+y2=5所截得的弦长.【解析】(1)由已知，直线l的斜率为=1，所以直线l的方程为y=x-1，即x-y-1=0.(2)因为圆心(0
6、，0)到l的距离d=，所以弦长为2=3.10.(2018重庆高二检测)已知点A(3，-3)，点B(1，3)两点.(1)求以AB为直径的圆C的方程.(2)若直线x+2y+3=0与圆C交于M，N两不同点，求线段MN的长度.【解析】(1)由已知，圆心C为AB中点，所以C(2，0)，半径r=|AC|=，所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.(2)圆心到直线MN的距离d=，所以=，所以|MN|=2.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018荆州高二检测)若P(2，-2)为圆(x-1)2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A.x-2y-6=0B.x+2y+2=0C.2x+y-2=
7、0D.2x-y-6=0【解析】选A.设圆心为C，则C(1，0)，因为P(2，-2)是弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，易知直线CP的斜率为-2，所以直线AB的斜率为，故直线AB的方程为y-(-2)=(x-2)，即x-2y-6=0.2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12【解析】选D.因为直线3x+4y-b=0与圆心为(1，1)、半径为1的圆相切，所以=1，解得b=2或12.3.如果实数x，y满足(x-2)2+y2=3，那么的最大值是()A.B.C.D.【解析】选D.=，即圆(x-2)2+y2=3上的
8、点和原点(0，0)连线斜率的最大值.如图所示， OA取得最大值kOA=.4.已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.【解析】选B.ABC外接圆圆心在直线BC的垂直平分线即在直线x=1上，设圆心D(1，b)，由DA=DB得|b|=，解得b=，所以圆心到原点的距离为d=.5.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能【解析】选B.因为直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，所以圆心到直线的距离d=1，所以点P(a，b)在圆外.【补偿训练】直线y=x绕原点按逆时针方向旋转
9、30后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是()A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点【解析】选C.直线y=x的倾斜角为30，绕原点按逆时针方向旋转30后所得直线的倾斜角为60.所以旋转后的直线方程为y=x，圆心(2，0)到直线y=x的距离为d=.二、填空题(每小题5分，共20分)6.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_.【解析】方法一：由已知，圆的方程为x2+y2=5，显然点P处的切线斜率存在，设为k，则切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，由=，得k=-，所以切线方程为y-2=-(x-1)
10、，即x+2y-5=0.方法二：由已知，圆的方程为x2+y2=5，圆在点P处的切线方程为1x+2y=5，即x+2y-5=0.答案：x+2y-5=07.(2018无锡高二检测)已知实数x，y满足方程y=，则的取值范围是_.【解析】方程(曲线)y=可化为(x-2)2+y2=3(y0)，表示圆的x轴上侧部分，如图.表示曲线上的点与原点(0，0)连线的斜率，符合题意的范围是x轴与图中直线l之间，易知，x轴即y=0斜率为0，l斜率为k=tan =，所以，的取值范围是0，.答案：0，8.(2017浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割
11、圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，S内=_.【解析】如图，因为是单位圆，所以OA=1，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以OAB是正三角形，所以AB=1，过点O作OGAB于点G，所以OG=OAsin 60=，所以正六边形的面积为6SOAB=6ABOG=.答案：9.(2018重庆高二检测)已知点A(-2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点，则ABC面积的最小值为_.【解析】圆x2-2x+y2=0可化为(x-1)2+y2=1，圆心为D(1，0)，半径r=1，直线AB方程为+=1，即x-y+2=0
12、，圆心D到直线AB的距离d=r=1，点C到直线AB距离最小值为d-r=-1，又|AB|=2，所以ABC面积的最小值为2=3-.答案：3-三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018常熟高二检测)已知圆C经过A(-2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y=2x上.(1)求圆C的方程.(2)动直线l：(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得D=-4，E=-8，F=-5，所以圆C的方程为x2+y2-4x-8y-5=0.(2)动直线l的方程为(x
13、+2y-7)m+2x+y-8=0.则得所以动直线l过定点M(3，2)，直线m：y=x-1，所以圆心C(2，4)到m的距离为，所以PQ的长为2=.11.(2018南开区高二检测)已知两点A(3，2)，B(-1，2)，圆C以线段AB为直径.(1)求圆C的方程.(2)已知直线l：y=kx+4，若直线l与圆C相切，求直线l的方程.若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，是否存在横坐标为-的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，若不存在说明理由，若存在求出k值.【解析】(1)圆的直径|AB|=4，故半径为2.圆心坐标为A(3，2)，B(-1，2)的中点(1，2)，所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4
14、.(2)直线l：y=kx+4，若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离d= =2，解得k=或k=0，所以直线l的方程为4x-3y+12=0或y=4.由方程组消去y，整理得(k2+1)x2+(4k-2)x+1=0.若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，则=4k(3k-4)0，得k 或k0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2= .若 = =- ，解得k=3.所以存在横坐标为- 的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，此时k=3+.【补偿训练】已知圆O1：(x+2)2+y2=1，P(x，y)为圆上任一点.求：(1)的最大、最小值.(2)x-2y的最大、最小值.【解题指南】两小题都涉及圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.【解析】(1)设=k，则kx-y-k+2=0.由于P(x，y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值.由圆心到直线的距离d=1，得k=.所以的最大值为，最小值为.(2)令x-2y=m，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.由d=1，得m=-2.所以x-2y的最大值为-2+，最小值为-2-.
