1、数学试题数学试题4.数学试题数学试题2021 届高三 12 月大联考数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）题号12345678答案BDACDDB二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）题号9101112答案BDBCACDAB三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.4314 2 315,12,16.1，13 19,66四、解答题（17 题 10 分；18、19、20、21、22 每题 12 分）17.解：（）5cos3B，4sin5B，由余弦定理知：2222cosbacacB，即226625255acacacac，当且仅当 ac时取等号.3 分所以
2、11125425sin22452SacB，所以ABC的面积的最大值为 252.5 分（）由正弦定理得2 sinsinsinsin2ACACsin0C，2 sinsin2AA 即2 cos2sincos222AAA，cos02A，故sin222A，90A 7 分sin54bBa，254a，8 分25 315cos454caB，9 分数学参考答案 第 1 页（共 7 页）A周长为251551544abc .10 分18.解：（）由已知得，na为等比数列，公比为2q，则21112214aaa12a2nna3 分选择当1n 时，1120bB，当2n 时，1222nnnbBBn，5 分222nbn，6
3、分选择12nnnBBb，即12nnbb，所以 nb是首项为 20，公差 2的等差数列，5 分222nbn 6 分选择2222log 2222nnnb.6 分（）由（）知：*2,13*222,4nnnnncabnNnn 8 分所以，101001234506Taaabbbb10310419712aqbbq 10 分342 1 297(14 178)22795479401 22 12 分19.解：（）以C 为原点，,CD CB CF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.1 分设点(0,0,)Fh，且有(2,2,0)A，(2,0,4)G，(0,2,1)E，因为几何体是
4、由底面为 ABCD 的正四棱柱被截面 AEFG 所截而得到的，所以平面 ADG/平面 BCFE，又平面 ADG 平面 AEFGAG,平面 BCFE 平面 AEFGEF,所以/AGEF，同理/AEGF，所以四边形 AEFG 是平行四边形，2 分数学参考答案 第 2 页（共 7 页）所以 AGEF，即(0,2,4)(0,2,1)h，得5h 4 分易知制作成的阳马 FABCD中，最长的棱长为 FA，所以|442533FA,所以 FA 的长为33.6 分（）根据题意可取平面 ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m，7 分由（）知(0,2,4)AG，(2,0,1)AE ，设平面 AEFG 的法向量为(
5、,)nx y z，则由00n AEn AG ，得24020yzxz，即22zyzx，令2z，所以(1,4,2)n，9 分所以222 21cos,21|11 16421m nm nmn ，所以平面 AEFG 与底面 ABCD 所夹锐角的余弦值为 2 2121.12 分20.解：（）曲线1E 解析式为cos1yx，所以点 D 的坐标为(,cos1)tt，点O 到 AD 的距离为1cost,而3ABDCt,则13()(3)(1 cos)cos4 12h tttttt ，2 分关于曲线2E，可知抛物线的方程为294xy,3 分所以点 D 的坐标为24,9tt，点O 到 AD 的距离为249 t，又3A
6、BDCt,可得 224=3,9httt 312t 5 分数学参考答案 第 3 页（共 7 页）（）因为 11sin0h tt ,所以 1h t 在31,2上单调递减，所以当1t 时,1h t 取得最大值为3cos1.7 分又 224=3,9httt 312t 二次函数开口向上，在91,8上单调递减，在 9 38 2，上单调递增，当32t 时,2ht 取得最大值为 529 分经比较，1cos1cos 32，所以153cos1322所以，选用曲线2E，满足点 O 到 BC 边的距离最大，11 分此时 23t，即矩形部分的 BC 边长度设计成 3 米.12 分21.解：（）因为椭圆222210 xy
7、abab过点31,2P，所以221314ab，又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为 2，即2a 联立方程2213142aba，2 分解得24a，21b ，所以椭圆 E 的方程为2214xy；4 分（）证明：设直线 AB 的方程为 ykxm，11,A x y，22,B xy，联立2244ykxmxy，得222148410kxkmxm，22284 4141kmkm 2216 410km，12221228144114kmxxkmx xk，7 分数学参考答案 第 4 页（共 7 页）因为14ACBDkk，所以14OAOBkk，所以12124y yx x.8 分又2212121212y ykxmkx
8、mk x xkm xxm，22121241440kx xkm xxm，22222418414401414mkmkkmmkk.整理得241k ，12k .11 分 A，B，C，D 可以轮换，AB，BC 的斜率一个是 12，另一个就是12，0ABBCkk 12 分22.解：（）函数 2ln0m xa xxa的定义域为0,，222axam xxxx.1 分当0a 时，0m x，所以 m x 在0,上单调递增，取10axe，则21110aam ee ，因为 11m，所以 0 10m xm，此时函数 m x 有一个零点.2 分当0a 时，令 0m x，解得2ax.当02ax时，0m x，所以 m x 在
9、 0,2a上单调递减；当2ax 时，0m x，所以 m x 在2a，上单调递增.要使函数 m x 有一个零点，则ln0222aaama，即ln12a，2ae.综上，若函数 m x 恰有一个零点，则2ae 或0a.4 分（）（i）lnfxxax，数学参考答案 第 5 页（共 7 页）1fxax，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yxm，11212 1fafam ，解得11am .7 分（ii）证明一：121221lnlnf xf xxxa xx，12122112121212lnlnlnlnf xf xxxa xxxxkaxxxxxx，又 11axfxaxx，121222xxfaxx，1
10、212121121212122121112222lnln2122111xxxxxxxfklnxxxxxxxxxxxxlnxxxxx 9 分不妨设210 xx，12xtx，则1t ，则1211222121lnln11xtxxtxxtx 令 21ln1th ttt（1t ），则 22101th ttt，因此 h t 在(1，)上单调递减，所以 (1)0h th.11 分又210 xx，所以120 xx，数学参考答案 第 6 页（共 7 页）所以1202xxfk，即122xxfk 12 分证明二：121221lnlnf xf xxxa xx，12122112121212lnlnlnlnf xf xxxa xxxxkaxxxxxx，又 11axfxaxx，121222xxfaxx，要证：122xxfk 成立，只需121221lnln2xxxxxx成立只需122112lnln)(2xxxxxx成立 9 分不妨设210 xx，12xtx，则1t ，则121212ln1)1(2xxxxxx令 21ln1th ttt（1t ），则 22101th ttt，因此 h t 在(1，)上单调递减，所以 (1)0h th.11 分又210 xx，所以120 xx，所以1202xxfk，即122xxfk 12 分数学参考答案 第 7 页（共 7 页）