1、亳州二中2020级高二上学期第一次月考试卷（数学）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 3下列命题：钝角是第二象限的角；小于的角是锐角；第一象限的角一定不是负角；第二象限的角一定大于第一象限的角；手表时针走过2小时，时针转过的角度为；若，则是第四象限角其中正确的题的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个4若，则（ ）ABCD5平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为( )A.10B.
2、3C.D.6函数，的图象大致为（ ）ABCD7函数的图象向左平移的单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，则的最小值是（ ）ABCD8已知四面体的四个顶点都在以为直径的球面上，且，若四面体的体积是，则这个球面的面积是（ ）ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（ ）ABC0D110将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是( )A. B.所成角为C.三角形ADC为等边三角形D.与平面所成角为11已知向量，则的值可以是（ ）ABC2D12将曲
3、线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）ABC在上有4个零点D在上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若,则与同方向的单位向量是_.14已知向量，则向量在向量上的投影为_15给出下列命题：直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；直线的方向向量，平面的法向量，则；平面的法向量分别为，则；平面经过三点，向量是平面的法向量，则.其中真命题的是_（把你认为正确命题的序号都填上）16 如图，在正四棱锥中，点M为PA的中点，.若，则实数_四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据
4、要求作答。17如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设，.（1）试用a，b，c表示向量； （2）求BM的长.18.已知向量，函数.且满足函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，的对边分别为，.已知，求的值.19.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分别是AC,A1C1的中点.求证:(1)平面AB1F1平面C1BF.(2)平面AB1F1平面ACC1A1.20.四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD（1）若PA
5、B为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的正切值21.如图，在三棱锥中，是等腰直角的斜边.（1）证明：平面平面ABC.（2）过AC的平面交BP于点Q，若Q为棱PB（异于P，B）上的点，且，求二面角的余弦值.22如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，且，E、F分别为、BC的中点.（1）若D是的中点，求证：平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线与平面AEF所成角的正弦的最大值.亳州二中2020级高二上学期第一次月考试卷（数学）参考答案一、 选择题题号123456789101112答案BCBBDAD
6、AACABCABCBC二、 填空13. 14. 15. 16. 417.（1）是PC的中点，.， ，结合，得.（2） ， ，.， ，.由（1）知，即BM的长等于.18.（1）因为，所以.因为，所以，故，即.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，即，.因为，所以，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.19.【证明】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为F,F1分别是AC,A1C1的中点, 所以AF1C1F.易证得B1F1BF.因为B1F1AF1=F1,C1FBF=F, 所以平面AB1F1平面C1BF.(2)在正
7、三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面A1B1C1, 所以B1F1AA1.易证得B1F1A1C1. 因为A1C1AA1=A1, 所以B1F1平面ACC1A1.因为B1F1平面AB1F1, 所以平面AB1F1平面ACC1A1.20.解：（1）PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB4，PE2，又PE平面ABCD，四棱锥PABCD的体积VPES正方形ABCD242（2）PE平面ABCD，PFE为PF与平面ABCD所成角为45，即PFE45，PEF为等腰直角三角形，E，F分别为AB，CD的中点，PEFE4，PB， ADBC，PCB或其补角即为PC与AD所成角，PE平面ABCD，PEBC，又BCAB
8、，PEABE，PE、AB平面PAB，BC平面PAB，BCPB，在RtPBC中，tanPCB.21.(1)证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OP.是等边三角形，是等腰直角的斜边是二面角的平面角. 又. BOP=900平面平面ABC.(2) 连接OQ，由(1)知平面POB，平面，则，由余弦定理得，即，解得或，是PC的中点.分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则.设平面APQ的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面ACQ的一个法向量为.二面角的余弦值为.22.（1）证明：连接，.因为D、E分别是、的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，因为E，F分别是，BC的中点，所以，所以平面平面.又平面，所以平面AEF.（2）以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，.设平面AEF的法向量为，由得 令，得，所以平面AEF的一个法向量为.设，则，所以，所以，设直线与平面AEF所成角为，则，易知当时，.故直线与平面AEF所成角的正弦的最大值为.
