1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为(B)A3 B3 C6 D6解析：ABC的面积为absinC433.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b22ac，c3a，则cosB(B)A. B. C. D.解析：由题意得，cosB.3在ABC中，A60，且最大边的长和最小边的长是方程x27x110的两个根，则第三边的长为(C)A2 B3 C4 D5解析：A60，且最大边的长和最小边的长是方程x27x110的两个根
2、，bc7，bc11，第三边a4.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值是(B)A. B.或 C.或 D.解析：由(a2c2b2)tanBac，得a2c2b2.根据余弦定理，得cosB，即tanBcosB，即sinB.0B，B或B.故选B.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2ccosA，c2bcosA，则ABC的形状为(C)A直角三角形 B锐角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形解析：由正弦定理，得sinB2sinCcosA，sinC2sinBcosA，即sin(AC)2sinCcosAsinAcosCcosAsinC
3、，即sinAcosCcosAsinC0，sin(AC)0，AC.同理，AB.ABC为等边三角形故选C.6已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为(C)A1a5 B1a7 C.a5 D.a7解析：由锐角三角形及余弦定理知，a5.7设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，则直线xsinAayc0与直线bxysinBsinC0的位置关系是(C)A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直解析：由正弦定理可得，则两条直线的斜率之积为1，所以这两条直线垂直8若ABC的内角A，B，C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB等于(D)A. B. C. D.解析：由正弦定理得，abcsi
4、nAsinBsinC，6a4b3c，ab，cb，cosB.9如图，在一条河流上有两座桥AC和BC，已知AC120 m，BC80 m，又测得AB120 m，则河宽CD为(C)A. m B. m C. m D. m解析：ABAC120 m，BC80 m，在ABC中，由余弦定理，可得cosABC.sinABC.CDBCsinABC m故选C.10在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，且12cos(BC)0，则BC边上的高等于(B)A. B. C. D.解析：由12cos(BC)0，得12cosA0，即cosA，所以A.由正弦定理，得sinB，因为ba，所以B0)，则tanA，tan
5、CqtanB，则tanBtan(AC)，得tan2B1q，因为20，所以q20，则q2，所以tan2B3，则tanB，得B，又ABC为锐角三角形，所以B的取值范围为.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13在ABC中，B15，C30，c1，则最长边长为.解析：A180(1530)135，所以最长边长为a，由解得a.14若ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则19.解析：由余弦定理，得cosB.故|cos(B)7519.15在ABC中，SABC(a2b2c2)，b1，a，则c1.解析：SABCabsinC，absinC(a2b2c2)，a2b2c2
6、2absinC，由余弦定理得2abcosC2absinC，tanC1，C45.由余弦定理得c1.16已知ABC中，AC，BC，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在一点D，使得BDC，则CD.解析：如图，由题意得SABCBCCAsinACBsinACB，解得sinACB，即ACB或，当ACB时，因为BDC，所以BDCACB，矛盾，所以ACB.在ABC中，由余弦定理得AB，因为ABAC，所以BACB.在DBC中，由正弦定理得CD.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：.证明：2，
7、在ABC中，由正弦定理可得，0.18(本小题12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAsinCpsinB(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解：(1)由题设及正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b2b2b2cosB，即p2cosB.因为0cosB0，所以p0)，则BD2x，在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5，由余弦定理得cosADC.因为CDBADC，所以cosADCcosCDB，所以，解得x
8、5，所以AD的长为5.(2)由(1)得AB3x15，BD2x10，BC5，所以cosCBD，从而sinCBD，所以SABCABBCsinCBA155.20(本小题12分)已知ABC的周长为1，且sinAsinBsinC.(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sinC，求角C的度数解：(1)由题意得ABBCAC1，sinAsinBsinC，由正弦定理可得BCACAB，得AB1.(2)由ABC的面积SBCACsinCsinC，得BCAC，在ABC中，由余弦定理得cosC，C60.21(本小题12分)一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在
9、A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形设所需时间为t小时，则AB21t，BC9t.又已知AC10，依题意知，ACB18010545120.根据余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB.即(21t)2102(9t)22109tcos120，(21t)210081t290t，即360t290t1000.t或t(舍去)AB2114.即“黄山”舰需要用小时靠
10、近商船，共航行14海里22(本小题12分)已知向量m(a，cosA)，n(cosC，c)，且mn2bcosB，其中A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角(1)求角B的大小；(2)若b，ABC的面积为，试判断三角形的形状，并说明理由解：(1)由题意得mnacosCccosA2bcosB，由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，sin(AC)2sinBcosB.ABC，sinB2sinBcosB，又sinB0，cosB.B(0，)，B.(2)ABC的面积SABCacsinBacsin，ac3.由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)293，ac2.联立，解得ac，bca，ABC为等边三角形