1、八等比数列的性质 (20分钟35分)1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9【解析】选B.因为b2=(-1)(-9)=9且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号.2.(2020重庆高一检测)等比数列的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log35【解析】选B.由等比数列的性质可得:a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9.则log3a1+log3
2、a2+log3a10=log3=5log39=10.3.一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列,其公比为()A.B.C.D.【解析】选A.设这个数为x,则(50+x)2=(20+x)(100+x),解得x=25,所以这三个数为45,75,125,公比q为=.4.已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4【解析】选A.因为a1a7=,a2a8=,a3a9=,所以(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=510=50.又因为an0,所以a4a5a6=5.5.在等比数列an中,a2a10=16,a4
3、+a8=8,则=.【解析】由题意可得a2a10=a4a8=16,又a4+a8=8,所以a4=a8,即数列an为常数列,所以=1.答案:16.已知各项都为正数的等比数列an满足a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an,且Sn为数列bn的前n项和,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列的公比为q,由题意知q0,且3a1+2a2=a3,所以解得a1=q=3,故an=3n.(2)由(1),得bn=log3an=n,所以Sn=.所以=+2=2+2,故数列的前n项和为Tn=2+2n=2+2n=.【补偿训练】 已知数列an的前n项和为S
4、n,满足Sn=2an-2n(nN+).(1)证明:an+2是等比数列,并求an的通项公式.(2)数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列的前n项和,若Tna对正整数a都成立,求a的取值范围.【解析】(1)由题设Sn=2an-2n(nN+),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2).两式相减得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),又a1+2=4,所以an+2是以4为首项,2为公比的等比数列an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2),又a1=2,所以an=2n+1-2(nN+).(2)因为bn=log2(an+2)=log2(2n+1)=n+1,=
5、-,所以Tn=+=-0),所以9t2-82t+9=0,得t1=9,t2=.所以q=3或q=.(1)当q=3时,此数列为1,3,9;(2)当q=-3时,此数列为-1,3,-9;(3)当q=时,此数列为9,3,1;(4)当q=-时,此数列为-9,3,-1.10.在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求d,q的值;(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由a2=b2,a8=b3,得即解方程组得或(舍去)(2)由(1)知an=1+(
6、n-1)5=5n-4,bn=b1qn-1=6n-1.由an=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b,即5n-4=nloga6+b-loga6.比较系数得解得a=,b=1,使得对一切自然数n,都有an=logabn+b成立.1.已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于()A.1+B.1-C.3+2D.3-2【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1.因为an0,所以q0,q=1+.所以=q2=(1+)2=3+2.2.在由实数组成的等比数列an中,a3+a7+a11=28,a2a7a12=512,求q.【解析】方法一:由已知由得=512,即a7=8.将其代入得2q8-5q4+2=0.解得q4=或q4=2,即q=或q=.方法二:因为a3a11=a2a12=,所以=512,即a7=8.所以即a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根,解此方程得x=4或x=16.所以或又因为a11=a3q8,所以q=,即q=或q=.